山西省临汾市襄汾县五校联考2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-10-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列各式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{a^{2}}$ D、 $\sqrt{\frac{5}{3}}$

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2. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）

A、 $x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0$ B、x²+2x+4=0 C、x²-x+2=0 D、x²-2x=0

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3. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则 $\sin ∠ A D C$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ B、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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4. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为 $\frac{1}{3}$ 的位似图形△OCD，则点C坐标（）

A、（﹣1，﹣1） B、（﹣ $\frac{4}{3}$ ，﹣1） C、（﹣1，﹣ $\frac{4}{3}$ ） D、（﹣2，﹣1）

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5. 如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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6. 下列等式成立的是（）

A、 $3 + 4 \sqrt{2} = 7 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3} \div \frac{1}{\sqrt{6}} = 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = 3$

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7. 如图， $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $\cos A = \frac{4}{5}$ ，以点 $B$ 为圆心， $r$ 为半径作 $⊙ B$ ，当 $r = 3$ 时， $⊙ B$ 与 $A C$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、无法确定

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8. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）

A、4 $\sqrt{3}$ 米 B、5 $\sqrt{2}$ 米 C、2 $\sqrt{13}$ 米 D、7米

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9. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ ，垂足为点M．连接 $O C$ ， $D B$ ．如果 $O C // D B$ ， $O C = 2 \sqrt{3}$ ，那么图中阴影部分的面积是（）．

A、π B、2π C、3π D、4π

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10. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴交于 $A ， B$ 两点，其对称轴与x轴交于点C，其中 $A ， C$ 两点的横坐标分别为 $- 1$ 和 $1 ，$ 下列说法错误的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $4 a + c = 0$ C、 $16 a + 4 b + c < 0$ D、当 $x > 2$ 时，y随x的增大而减小

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二、填空题

11. 写出一个比 $\sqrt{2}$ 大且比 $\sqrt{15}$ 小的整数．

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12. 如图， $P$ 为平行四边形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点， $E 、 F$ 分别为 $P A 、 P D$ 上的点，且 $P A = 3 P E ， P D = 3 P F ，$ $△ P E F ， △ P D C ， △ P A B$ 的面积分别记为 $S 、 S_{1} ， S_{2}$ ．若 $S = 2 ，$ 则 $S_{1} + S_{2} =$ ．

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13. 在平面直角坐标系中，已知 $A (- 1 ， m)$ 和 $B (5 ， m)$ 是抛物线 $y = x^{2} + b x + 1$ 上的两点，将抛物线 $y = x^{2} + b x + 1$ 的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为．

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14. 《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？大意是“一个矩形田地的面积等于864平方步，它的宽比长少12步，问长与宽各多少步？”若设矩形田地的宽为x步，则所列方程为．

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15. 如图，放置在直线l上的扇形OAB ，由①图滚动（无滑动）到图②，在由图②滚动到图③，若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O的路径长为．

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三、解答题

16. 计算或解方程

(1)、计算：① $\sqrt[3]{- 8} + | \sqrt{3} - 1 | - 2 \sin 60 ° + {(\frac{1}{4})}^{0}$
② ${(\sqrt{3} - 1)}^{2} - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})$

(2)、解方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

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17. 某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门.如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间.身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求小聪在地面的有效测温区间MN的长度.（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）

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18. 阅读下列解题过程：
$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} = \frac{1 \times (\sqrt{5} - \sqrt{4})}{(\sqrt{5} + \sqrt{4}) (\sqrt{5} - \sqrt{4})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{4}}{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{4})}^{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{4}$

$\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{1 \times (\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5}) (\sqrt{6} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{{(\sqrt{6})}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{6} - \sqrt{5}$

请回答下列问题：

(1)、观察上面的解答过程，请写出 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ ；

(2)、利用上面的解法，请化简： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2019} + \sqrt{2020}} + \frac{1}{\sqrt{2020} + \sqrt{2021}}$

(3)、 $\sqrt{12} - \sqrt{11}$ 和 $\sqrt{13} - \sqrt{12}$ 的值哪个较大，请说明理由．

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19. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．

(1)、当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？

(2)、当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?

(3)、当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？

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20. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．

(1)、求证：CD是⊙O的切线；

(2)、若AD＝8， $\frac{B E}{C E}$ ＝ $\frac{1}{2}$ ，求CD的长．

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21. 为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)、本次参加比赛的学生人数是名；

(2)、把条形统计图补充完整；

(3)、求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角 $α$ 的度数；

(4)、在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．

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22. 小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形， $∠ A C B$ 与 $∠ E C D$ 恰好为对顶角， $∠ A B C = ∠ C D E = 90 °$ ，连接 $B D$ ， $A B = B D$ ，点F是线段 $C E$ 上一点．

(1)、探究发现：
当点F为线段 $C E$ 的中点时，连接 $D F$ （如图（2），小明经过探究，得到结论： $B D ⊥ D F$ ．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）

(2)、拓展延伸：
将（1）中的条件与结论互换，即：若 $B D ⊥ D F$ ，则点F为线段 $C E$ 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

(3)、问题解决：
若 $A B = 6 ， C E = 9$ ，求 $A D$ 的长．

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23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 $y = \frac{1}{2} x - 2$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于另一点 $C (- 1 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在抛物线上是否存在一点P，使 $S_{△ P A B} = S_{△ O A B}$ ？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、点M为直线 $A B$ 下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当 $△ M A B$ 的面积最大时，求 $M N + \frac{1}{2} O N$ 的最小值．

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