山西省晋中市祁县2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-10-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列几何体中，三种视图完全相同的是（）

A、球 B、圆柱 C、圆锥 D、五棱柱

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2. 下列一元二次方程没有实数根的是（）

A、 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ B、 $x^{2} + x - 1 = 0$ C、 $x^{2} + x + 1 = 0$ D、 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$

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3. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 1 ， A B = \sqrt{5}$ ，则 $\tan B$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 图象上有三个点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2}) ， C (x_{3} ， y_{3})$ ，其中 $x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}$ ，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ D、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$

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5. 同一坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与二次函数 $y = k x^{2} - k (k \neq 0)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 矩形 $A B C D$ 中，点M在对角线 $A C$ 上，过M作 $A B$ 的平行线交 $A D$ 于E ，交 $B C$ 于F ，连接 $D M$ 和 $B M$ ，已知， $D E = 2 ， M E = 4$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、12 B、10 C、8 D、6

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7. 如图是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象，其顶点坐标为 $(1 ， n)$ ，且与x轴的一个交点在点 $(3 ， 0)$ 和 $(4 ， 0)$ 之间，则下列结论：① $b = 2 a$ ；② $c - a = n$ ；③ $4 a - 2 b + c < 0$ ；④ $a m^{2} + b m ⩽ a + b$ （m为任意实数）其中正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

8. 把二次函数 $y = a x^{2}$ 的图象向左平移1个单位后经过点 $(0 ， 2)$ ，则平移后所得到的抛物线表达式是．

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9. $△ A B C$ 顶点的坐标分别为 $A (1 ， - 1) ， B (4 ， - 1) ， C (3 ， - 4)$ ，以坐标原点O为位似中心，画出放大的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使得它与 $△ A B C$ 的位似比等于2∶1，则点C的对应点 $C_{1}$ 坐标为．

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10. 如图，AB是⊙O的直径， $\overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{D C} = \overset{⌢}{E D}$ ，∠COD＝32°，则∠AEO的度数．

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11. 如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝6m ，已知木箱高BE＝ $\sqrt{3} m$ ，斜坡角为30°，则木箱端点E距地面AC的高度EF为m ．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的对角线交于点D，双曲线y= $\frac{k}{x}$ (x＞0)经过C、D两点，双曲线y= $\frac{8}{x}$ (x＞0)经过点B，则平行四边形OABC的面积为．

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三、解答题

13.

(1)、计算： $2 \sin 60 ° \cdot \tan 30 ° - \tan 45 °$

(2)、解方程： ${(2 x + 1)}^{2} = 3 x (x - 1) - 5$

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14. 如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．

(1)、任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于多少；

(2)、任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．

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15. 如图，以 $△ A B C$ 的一边 $A B$ 为直径的半圆与其它两边 $A C$ ， $B C$ 分别交于点D ， E ， $\overset{⌢}{D E} = \overset{⌢}{B E}$ ．

(1)、求证： $A C = A B$ ；

(2)、若 $B C = 6 ， A B = 8$ ，求 $C D$ 的长．

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16. 为确保贫困人口到2020年底如期脱贫，习总书记提出扶贫开发“贵在精准，重在精准，成败之举在于精准”，近年来扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农因地制宜种植一种有机生态水果并拓宽了市场，有机生态水果产量呈逐年上升，去年这种水果的产量是亩产约1000千克.

(1)、预计明年这种水果产量要达到亩产1440千克，求这种水果亩产量去年到明年平均每年的增长率为多少？

(2)、某水果店从果农处直接以每千克30元批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的平均销售价每降低1元，每天可多卖出50千克，设水果店一天的利润为 $w$ 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？

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17. 阅读以下材料，并完成相应任务：

托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．

托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．

已知：如图1，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ．

求证： $A B \cdot C D + B C \cdot A D = A C \cdot B D$

下面是该结论的证明过程：

证明：如图2，作 $∠ B A E = ∠ C A D$ ，交 $B D$ 于点E ．

∵ $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{A D}$ ∴ $∠ A B E = ∠ A C D$ （依据1）

∴ $△ A B E ∽ △ A C D$ （依据2）

∴ $\frac{A B}{A C} = \frac{B E}{C D}$ ∴ $A B \cdot C D = A C \cdot B E$

∵ $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A B}$ ∴ $∠ A C B = ∠ A D E$

∵ $∠ B A E = ∠ C A D$ ∴ $∠ B A E + ∠ E A C = ∠ C A D + ∠ E A C$

即 $∠ B A C = ∠ E A D$

∴ $△ A B C ∽ △ A E D$

∴ $A D \cdot B C = A C \cdot E D$

∴ $A B \cdot C D + A D \cdot B C = A C \cdot (B E + E D)$

∴ $A B \cdot C D + A D \cdot B C = A C \cdot B D$

任务：

(1)、上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

依据1：．

依据2：．

(2)、如图3，四边形

A B C D

内接于

⊙ O

，

A C

为

⊙ O

的直径，

A D = 5

，

\tan ∠ A C B = \frac{3}{4}

，点D为

\overset{⌢}{A C}

的中点，求

B D

的长．

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18. 综合与实践﹣四边形旋转中的数学
“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．

任务一：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG．

(1)、请直接写出CG的长是．

(2)、如图2，当矩形AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转）至点G落在边AB上时，请计算DF与CG的长，通过计算，试猜想DF与CG之间的数量关系．

(3)、当矩形AEGF绕点A旋转至如图3的位置时，（2）中DF与CG之间的数量关系是否还成立？请说明理由．
任务二：“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接CG．“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着特定的数量关系．

(4)、如图5，当▱AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转），其他条件不变时，“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系．

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