山西省晋城市2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-10-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若式子 $\frac{\sqrt{x - 1}}{x}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、x＞1 B、x≥1 C、x≥0，x≠1 D、x＞0

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2. 下列函数是二次函数的是（）

A、 $s = 2 t (t - 2) + 1$ B、 $y = a x^{2} + b x + c$ C、 $y = 3 x - 1$ D、 $y = 2 x^{2} + \frac{1}{x}$

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3. 一元二次方程x²﹣3x+4＝0的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判断

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4. 如图， $D E // B C$ ，下列各式错误的是（）

A、 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ B、 $\frac{A D}{B D} = \frac{A E}{C E}$ C、 $\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}$ D、 $\frac{A D}{A E} = \frac{A B}{A C}$

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5. 在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，卡片除数字外其余都相同，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{16}$ C、 $\frac{7}{16}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 下列说法正确的是（）

A、圆的任意一条直径都是它的对称轴 B、相等的圆心角所对的弧相等 C、平分弦的直径垂直于弦 D、圆中最长的弦是直径

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7. 将抛物线y＝x²﹣2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为（）

A、y＝（x+3）² B、y＝（x﹣3）² C、y＝（x+2）²+1 D、y＝（x﹣2）²+1

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8. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C ， D$ 是 $\overset{⌢}{A C B}$ 上的三等分点，且 $\sin ∠ A B C = \frac{1}{2}$ ，则 $∠ A + ∠ D$ 等于（）

A、120° B、95° C、105° D、150°

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 上一点，连接 $A D ， \frac{B D}{C D} = \frac{1}{3} ， F$ 是 $A D$ 的中点，连接 $B F$ 并延长交 $A C$ 于点E ，则 $\frac{A E}{E C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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10. 已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③（a+c）²＞b²；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）.其中正确的结论有（　　）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{45} \div \sqrt{5} =$ ．

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12. 已知二次函数

y = a x^{2} + b x + c

的函数值y与自变量x的部分对应值如下表：

x	…	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	…
y	…	8	3	0	$- 1$	0	3	…

则这个二次函数的图象的顶点坐标是．

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， B C = 2$ ，点P在 $D C$ 上（不与 $C ， D$ 两点重合），当 $A P =$ 时， $△ A D P ∽ △ A B C$ ．

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14. 如图， $A C ， B D$ 是 $⊙ O$ 的两条相交弦， $∠ A C B = ∠ C D B = 60 ° ， A C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $⊙ O$ 的直径是．

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三、解答题

15. 在平面直角坐标系中， $C (- 1 ， 5)$ ， $D (- 3 ， 1)$ ，经过原点的直线 $m$ 上有一点 $(3 ， 2)$ ，平移线段 $C D$ ，对应线段为 $E F$ （ $C$ 对应 $E$ ），若点 $E$ 、 $F$ 分别恰好在直线 $m$ 和 $x$ 轴上，则 $E$ 点坐标为．

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16.

(1)、用配方法解方程： $2 x^{2} - 4 x = 1$ ．

(2)、计算： $4 \sin 60 ° \cdot \tan 30 ° - 6 \cos^{2} 45 °$ ．

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17. 计算： $(\sqrt{4} + \sqrt{3} - 1) (\sqrt{4} - \sqrt{3} + 1)$ ．

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18. 小兰和小英周末都想去看电影，但只有一张电影票，二人决定做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下：在一只不透明的口袋中有除所标数字外完全相同的4张卡片，卡片上分别写有数字 $- 4 ， 5 ， - 2 ， 3$ ，现从口袋中随机取出两张卡片，如果取出的两张卡片上的数字之积为负数，那么小兰获胜，小兰就去看电影，否则，小英去看电影．

(1)、用画树状图或列表的方法求出小兰去看电影的概率．

(2)、小英说：“这种规则不公平．”你认为小英的说法正确吗？请说明理由．

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19. 某水果店购进一批优质水果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该水果在一天内的销售量x（千克）与该天的售价

y

（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．

销售量（千克）	…	32.5	35	35.5	38	…
售价（元/千克）	…	27.5	25	24.5	22	…

(1)、某天这种水果售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量；

(2)、如果水果店该天获利400元，那么这天水果的售价为多少元？

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20. 如图，一艘渔船位于小岛 $B$ 的北偏东 $30^{\circ}$ 方向，距离小岛 $40 n m i l e$ 的点 $A$ 处，它沿着点 $A$ 的南偏东 $15^{\circ}$ 的方向航行.

(1)、渔船航行多远距离小岛 $B$ 最近(结果保留根号)？

(2)、渔船到达距离小岛 $B$ 最近点后，按原航向继续航行 $20 \sqrt{6} n m i l e$ 到点 $C$ 处时突然发生事故，渔船马上向小岛 $B$ 上的救援队求救，问救援队从 $B$ 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？

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21. 景德桥，俗称西关大桥，是我国一座著名的古代石拱桥．景德桥位于山西省东南部的晋城西门外，横跨沁水河，过去，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，故曾又名沁阳桥．桥下水面宽度 $A B$ 是20米，拱高 $C D$ 是4米，若水面上升3米至 $E F$ 处．

(1)、把拱桥看作抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，求水面宽度 $E F$ ．

(2)、把拱桥看作圆的一部分，则可构造如图2所示的图形，求水面宽度 $E F$ ．

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22. 问题提出：如图，在锐角 $△ A B C$ 中，如何作一个正方形 $D E F G$ ，使 $D ， E$ 落在 $B C$ 边上， $F ， G$ 分别落在 $A C ， A B$ 边上？
勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在 $△ A B C$ 两边上的正方形 $H I J K$ ；

②连接 $B J$ ，并延长交 $A C$ 于点 $F$ ；③过点 $F$ 作 $E F ⊥ B C$ 于点 $E$ ；④过 $F$ 作 $F G / / B C$ ，交 $A B$ 于点 $G$ ；⑤过点 $G$ 作 $G D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，则四边形 $D E F G$ 即为所求作的正方形．

受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角 $△ A B C$ 中，作出长与宽的比为 $2 ： 1$ 的矩形 $D E F G$ ，使 $D ， E$ 位于边 $B C$ 上， $F ， G$ 分别位于边 $A C ， A B$ 上．

(1)、你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由．

(2)、请你帮助创新小组同学在在锐角 $△ A B C$ 中，作出所有满足长与宽的比为 $2 ： 1$ 的矩形 $D E F G$ ，使 $D ， E$ 位于边 $B C$ 上， $F ， G$ 分别位于边 $A C ， A B$ 上．（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）
解决问题：

(3)、在（2）的条件下，已知 $△ A B C$ 的面积为36， $B C = 12$ ，求出矩形 $D E F G$ 的面积．

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23. 综合与探究：如图，抛物线 $y = a x^{2} + x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于 $A (- 2 ， 0) ， B$ 两点（点A在点B的左边），与直线 $y = - x + 4$ 分别交于 $B ， C$ 两点，P为抛物线上一动点，过点P作 $P D ⊥ x$ 轴于点D ，交直线 $B C$ 于点E ．

(1)、求抛物线的表达式．

(2)、若点E在线段 $B C$ 上，求线段 $P E$ 长度的最大值．

(3)、连接 $A C$ ，当 $∠ B C P = ∠ A C O$ 时，求点P的坐标．

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