浙江省杭州市拱墅区2021年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2021-10-13 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列四个图形中，为中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 2021年春节，为了预防新冠肺炎疫情，各地纷纷响应“原地过年”的倡导，假期七天，全国铁路，公路，水路，民航共发送旅客大约98400000人次，比去年同期下降 $34.8 %$ .数据98400000用科学记数法表示为（）

A、 $984 \times 10^{5}$ B、 $98.4 \times 10^{6}$ C、 $9.84 \times 10^{8}$ D、 $9.84 \times 10^{7}$

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3. 如图，直线 $l_{1} / / l_{2} / / l_{3}$ ，直线AC交 $l_{1} ， l_{2} ， l_{3}$ 于点A，B，C，直线DF交 $l_{1} ， l_{2} ， l_{3}$ 于点D，E，F.若 $\frac{A B}{B C} = \frac{4}{3}$ ，则 $\frac{D E}{D F}$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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4. 不等式 $9 x - 4 < 6 x - 1$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C ： B C = 1 ： 2$ ，则 $∠ A$ 的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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6. 已知一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ ，若 $k \cdot b < 0$ ，则该函数的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图， $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = 50 °$ ，则 $∠ 4$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $100 °$ C、 $120 °$ D、 $130 °$

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8. 某校元旦文艺演出中，10位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的8个评分与原始的10个评分相比，（）

A、平均数不发生变化 B、中位数不生变化 C、方差不发生变化 D、平均数和中位数都不发生变化

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9. 一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为 $6m$ 时，球达到最高点，此时球离地面 $3m$ .已知球门高是 $2 .44m$ ，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（）

A、 $10m$ B、 $8m$ C、 $6m$ D、 $5m$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， B C > A C$ ，CD是 $△ A B C$ 的角平分线，过点D作 $D E ⊥ C D$ 交BC于点E. $△ A C D$ 和 $△ B D E$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，若 $\frac{A D}{B D} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为（）.

A、3 B、 $\frac{16}{5}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{7}{2}$

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二、填空题

11. 若分式 $\frac{1}{x}$ 有意义，则x的取值范围是.

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12. 已知 $- 2$ 是关于 $x$ 的方程 $2 x + a = 1$ 的解，则 $a =$ .

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13. 如图，直线AB与 $⊙ O$ 相切于点C，AO交 $⊙ O$ 于点D，连接CD，OC.若 $∠ A O C = 60 °$ ，则 $∠ A C D =$ .

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14. 西湖文化广场内有浙江省博物馆武林馆区，浙江省科技馆，浙江自然博物馆，小明和小皓要去展馆做志愿者，每人只选择去1个展馆，则他们在同一个展馆做志愿者的概率是，至少有一人在浙江自然博物馆的概率是.

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15. 如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆底部b米（ $b > a$ ），则旗杆AB的高度为米（用含a，b的代数式表示）.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 4 ， A C = 5 ， B C = 6$ ，点D是边AC上的动点（不与点A，C重合），将线段BD绕点B逆时针方向旋转到BE，使 $∠ D B E = ∠ C B A$ ，连接AE.若点E在直线AC上，则 $C D =$ ；在点D移动的过程中，线段AE的最小值为.

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三、解答题

17.

(1)、计算： $| - 2 | - 3^{2} + \sqrt{36}$ .

(2)、解方程： ${(x + 1)}^{2} = 4$ .

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18. 在日历牌上，我们可以发现一些日期数满足一定的规律.如图是今年4月的日历牌，若任意选择图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如： $3 \times 9 - 2 \times 10 = 7 ， 6 \times 12 - 5 \times 13 = 7$ ，不难发现，结果都是7

(1)、请再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律

(2)、设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，请利用整式的运算对以上的规律加以证明.

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19. 春季是传染病的高发期，某校为调查学生对传染病预防知识的了解情况，从全校学生中随机抽取了部分学生进行相关知识的测试，并将测试成绩（x）分为五个等级： $A (90 ⩽ x ⩽ 100) ， B (80 ⩽ x < 90) ， C (70 ⩽ x < 80) ， D (60 ⩽ x < 70) ， E (50 ⩽ x < 60)$ ，整理后分别绘制成如图所示的频数直方图和扇形统计图（部分信息不完整）.

(1)、求测试等级为C的学生人数，并补全频数直方图.

(2)、求扇形统计图中等级为B所对应的扇形圆心角的度数

(3)、若全校1200名学生都参加测试，请根据抽样测试的结果，估计该校测试等级为A的学生有多少人？

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20. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为 $1200 N$ ，阻力臂长为 $0 .5m$ .设动力为y（N），动力臂长为x（m）.（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计.）

(1)、求y关于x的函数表达式.

(2)、当动力臂长为 $1 .5m$ 时，撬动石头至少需要多大的力？

(3)、小明若想使动力不超过 $300N$ ，在动力臂最大为 $1 .8m$ 的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由.

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21. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，作 $D E / / A C ， C E / / B D$ ，DE，CE相交于点E.

(1)、求证：四边形OCED是菱形.

(2)、若矩形ABCD的面积为 $50 \sqrt{2}$ ， $\sin ∠ E D C = \frac{1}{3}$ ，求点E到直线AB的距离.

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22. 在平面直角坐标系中，设二次函数 $y = - \frac{1}{2} {(x - 2 m)}^{2} + 1 - m$ （m是实数）

(1)、当 $m = 2$ 时，若点 $A (6 ， n)$ 在该函数图象上，求n的值.

(2)、小明说二次函数图象的顶点可以是 $(2 ， - 1)$ ，你认为他的说法对吗？为什么？

(3)、已知点 $P (a + 1 ， c) ， Q (4 m - 7 + a ， c)$ 都在该二次函数图象上，求证： $c ⩽ - \frac{7}{8}$ .

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23. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ ABC > 90 °$ ，它的外角 $∠ EAC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F.

(1)、求证： $D B = D C$ .

(2)、若 $D A = D F$ ，
①当 $∠ A B C = α$ ，求 $∠ D F C$ 的度数（用含 $α$ 的代数式表示）.

②设 $⊙ O$ 的半径为5， $B C = 6$ ，求AD的长.

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