云南省昭通市昭阳区2020-2021学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-10-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 1 \leq 0$ B、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 1 \leq 0$ C、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} - 2 x + 1 \leq 0$ D、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} - 2 x + 1 \leq 0$

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2. 下列各组函数中为同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ ， $g (x) = x - 1$ B、 $f (x) = x - 1$ ， $g (t) = t - 1$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ ， $g (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ D、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{x}$

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3. 若函数 $f (x) = x^{2} + (m + 1) x + 3$ 在区间 $(3, 5)$ 内存在最小值，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(5, 9)$ B、 $(- 11, - 7)$ C、 $[5, 9]$ D、 $[- 11, - 7]$

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4. 若函数 $f (x)$ 的图象与函数 $g (x) = 10^{x}$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称，则 $f (100) =$ （）

A、10 B、-1 C、2 D、-2

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5. 函数y= $\frac{1}{\sqrt{\log_{0.5} (4 x - 3)}}$ 的定义域为（）

A、（ $\frac{3}{4}$ ，1） B、（ $\frac{3}{4}$ ，∞） C、（1，+∞） D、（ $\frac{3}{4}$ ，1）∪（1，+∞）

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6. 函数 $y = (m^{2} + 2 m - 2) x^{\frac{1}{m - 1}}$ 是幂函数，则 $m =$ （）

A、1 B、-3 C、-3或1 D、2

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7. 已知不等式x²－2x－3＜0的解集为A，不等式x²＋x－6＜0的解集为B，不等式x²＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于（）

A、－3 B、1 C、－1 D、3

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8. 已知函数y＝ ${\begin{array}{l} x^{2} + 1, x \leq 0 \\ - 2 x, x > 0 \end{array}$ ，则使函数值为 $5$ 的 $x$ 的值是（）

A、-2或2 B、2或 $- \frac{5}{2}$ C、-2 D、2或-2或 $- \frac{5}{2}$

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9. 已知 $a$ = ${0.3}^{2} ， b$ = $\log_{2} 0.3 ， c$ = $2^{0.3}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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10. 函数 $y = e^{| \ln x |} - | x - 1 |$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

11. 下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）

A、y=x³+x B、y=log₂x C、y=2x²-3 D、y=x|x|

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12. 对于实数 $x$ ，符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[π] = 3$ ， $[- 1.5] = - 2$ ，定义函数 $f (x) = x - [x]$ ，则下列命题中正确的是（）

A、 $f (- 3.9) = f (4.1)$ B、函数 $f (x)$ 的最大值为1 C、函数 $f (x)$ 的最小值为0 D、方程 $f (x) - \frac{1}{2} = 0$ 有无数个根

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三、填空题

13. 已知 $A = {x ∣ x \leq 1$ 或 $x > 3} ， B = {x ∣ x > 2}$ ，则 $(∁_{R} A) \cup B =$ .

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14. 已知 $- 1 \leq x \leq 4$ ， $2 \leq y \leq 3$ ，则 $z = 2 x - 3 y$ 的取值范围是．

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15. 若函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4 x + 5)$ 在区间 $(3 m - 2 ， m + 2)$ 内单调递增，则实数 $m$ 的取值范围为．

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16. 在下列所示电路图中，下列说法正确的是(填序号)．

⑴如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；

⑵如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；

⑶如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；

⑷如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．

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四、解答题

17. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 2 < x < 3}$ ， $B = {x | - 3 < x \leq 3}$ ，求 $∁_{U} A$ ， $A \cap B$ ， $∁_{U} (A \cap B)$ ， $(∁_{U} A) \cap B$ .

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18. 计算下列各式的值：

(1)、 ${(2 \frac{3}{5})}^{0} + 2^{- 2} \times {| - 0.064 |}^{\frac{1}{3}} - {(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}}$ ；

(2)、 $(\log_{3} 2 + \log_{9} 2) \cdot (\log_{4} 3 + \log_{8} 3) + {(\log_{3} 3^{\frac{1}{2}})}^{2} + \ln \sqrt{e} - \lg 1$ ；

(3)、已知 $2^{a} = 3$ ， $4^{b} = 6$ ，求 $2 b - a$ 的值．

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19. 已知关于x的不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | x < 1$ 或 $x > b}$ ．
$($ Ⅰ $)$ 求a ， b的值；

$($ Ⅱ $)$ 当 $x > 0$ ， $y > 0$ 且满足 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ 时，有 $2 x + y \geq k^{2} + k + 2$ 恒成立，求k的取值范围．

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20. 黑颈鹤是国家一级保护动物，主要在青藏高原繁殖，云贵高原过冬，是世界上15种鹤类中唯一在高原上繁殖和越冬的鹤类，数量十分稀少．截止2020年11月30日，大山包保护区黑颈鹤迁徙数据再破纪录，达1938只，是至今为止历年来大山包监测到黑颈鹤数量的最高纪录．研究鸟类的专家发现，黑颈鹤的飞行速度 $v$ (单位： $m / s$ )与其耗氧量 $Q$ 之间的关系为 $v = a + b \log_{3} \frac{Q}{10}$ (其中 $a$ ， $b$ 是实数).据统计，黑颈鹤在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 $m / s$ ．

(1)、求出 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若黑颈鹤为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？

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21. 已知函数f(x)=x²−x＋k，且log₂f(a)=2，f(log₂a)=k，a＞0，且a≠1.

(1)、求a，k的值；

(2)、当x为何值时，f(log_ax)有最小值？求出该最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{a x + b}$ 是定义域上的奇函数，且 $f (- 1) = - 2$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，判断函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性并证明；

(2)、令 $g (x) = f (x) - m$ ，若函数 $g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有两个零点，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、令 $h (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 t f (x) (t < 0)$ ，若对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 2]$ 都有 $| h (x_{1}) - h (x_{2}) | \leq \frac{15}{4}$ ，求实数 $t$ 的取值范围．

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