云南省丽江市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 命题 $\exists x \in R ， x^{2} + 1 \leq 0$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 > 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 \geq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 \geq 0$

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3. “ $α$ 是锐角”是“ $α$ 是第一象限角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 对于任意实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b > 0$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$

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5. 若 $a = \lg 0.3 ， b = \log_{3} 2 ， c = 3^{0.1}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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6. 已知扇形的弧长 $l$ 为 $\frac{2 π}{3}$ ，圆心角 $α$ 为 $\frac{π}{3}$ ，则该扇形的面积 $S$ 为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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7. 函数 $f (x) = - x^{2} + 2 (1 - m) x + 3$ 在区间 $(- \infty ， 4]$ 上单调递增，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3 ， + \infty)$ B、 $[3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 5]$ D、 $(- \infty ， - 3]$

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8. 已知 $\tan (π - α) = - 3$ ，则 $\frac{2 \sin α + \cos α}{2 \cos α - \sin α}$ （）

A、-7 B、7 C、-1 D、1

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9. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，且 $f (2) = 0$ ，则不等式 $x \cdot f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$ D、（-∞，-2）∪（0，2）

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10. 根据表格中的数据，可以判断方程

e^{x} - x - 3 = 0

的一个根所在的区间为（）

$x$	-1	0	1	2	3
$e^{x}$	0.37	1	2.72	7.39	20.09
$x + 3$	2	3	4	5	6

A、

(2 ， 3)

B、

(1 ， 2)

C、

(0 ， 1)

D、

(- 1 ， 0)

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象可以由函数 $g (x) = 2 \sin 2 x$ 向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{12}$ 对称 D、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} - 2 x + 3 ， x \leq 0 \\ | \ln x | ， x > 0 \end{matrix}$ ，若关于x的方程 $f (x) = a$ 有四个实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 4)$ B、 $(0 ， 3]$ C、 $[3 ， 4)$ D、 $(0 ， 4)$

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二、填空题

13. 若集合 $A = {x | k x^{2} + 2 x + 1 = 0}$ 中有且仅有一个元素，则k的值为.

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14. $\frac{1}{\log_{2} 6} + \frac{1}{\log_{3} 6} + 3^{\log_{3} 2} - {(\frac{27}{8})}^{- \frac{1}{3}} =$ .

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15. 若 $x > - 1$ ，则 $x + \frac{3}{x + 1}$ 的最小值是.

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16. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (x - 3) + \frac{1}{2} (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图象过定点P，若点P在幂函数 $g (x) = x^{α}$ 的图象上，则 $g (\frac{1}{9})$ 的值为.

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三、解答题

17. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点 $P (- 4 ， 3)$ .

(1)、求 $\sin α$ ， $\cos α$ ；

(2)、求 $f (α) = \frac{\cos (\frac{π}{2} + α) - 2 \cos (π + α)}{\sin (π - α) + 2 \cos (- α)}$ 的值.

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18. 已知集合 $A = {x | a + 1 \leq x \leq 2 a - 1} ， B = {x | x^{2} - 3 x - 10 \leq 0}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ， $g (x) = | x - 2 |$ .

(1)、求方程 $f (x) = g (x)$ 的解集；

(2)、定义： $m a x {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \geq b \\ b ， a < b \end{array}$ .已知定义在 $[0 ， + \infty)$ 上的函数 $h (x) = m a x {f (x) ， g (x)}$ .求函数 $h (x)$ 的解析式，在平面直角坐标系中，画出函数 $h (x)$ 的简图；并写出函数 $h (x)$ 的单调区间和最小值.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \cos x (\sin x + \cos x) - 1$ .

(1)、若 $0 < α < π ， \sin α = \frac{\sqrt{2}}{2} ，$ 求 $f (α)$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；及当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，函数 $f (x)$ 的最值.

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21. 创新是一个民族的灵魂，国家大力提倡大学毕业生自主创业，以创业带动就业，有利于培养大学生的创新精神.小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，在年产量不足8万件时， $C (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 4 x$ (万元)；在年产量不小于8万件时， $C (x) = 11 x + \frac{49}{x} - 33$ (万元).每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完.

(1)、写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润=年销售收入-固定成本-流动成本).

(2)、年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a - 3^{x}}{1 + 3^{x}}$ 是R上的奇函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、用定义证明 $f (x)$ 在 $R$ 上为减函数；

(3)、若对于任意 $t \in [2 ， 5]$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) < 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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