湖南省怀化市初中学2021年业水平考试数学综合检测卷（三）

试卷更新日期：2021-10-13 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 有理数 $- \frac{1}{5}$ 的倒数为（）

A、5 B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、-5

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2. 使代数式 $\frac{\sqrt{x - 3}}{x - 4}$ 有意义的x的取值范围是（）

A、 $x > 3$ B、 $x \geq 3$ C、 $x > 4$ D、 $x \geq 3$ 且 $x \neq 4$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $m \cdot m = 2 m$ B、 ${(m n)}^{3} = m n^{3}$ C、 ${(m^{2})}^{3} = m^{6}$ D、 $m^{6} \div m^{2} = m^{3}$

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4. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $A B = B C + A D$ ， $∠ D A C = 45 °$ . $E$ 为 $C D$ 上一点，且 $∠ B A E = 45 °$ .若 $C D = 4$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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5. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位： $cm$ ），根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（）

A、 $12 {cm}^{2}$ B、 $(12 + π) {cm}^{2}$ C、 $6 π {cm}^{2}$ D、 $8 π {cm}^{2}$

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二、填空题

6. 因式分解：a³－a=.

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7. 用一组 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值说明命题“若 $a < b$ ，则 $a c < b c$ ”是错误的，这组值可以是 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ．

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8. 在一个不透明的袋子中有3个红球和 $m$ 个黑球，它们除颜色外其他均相同.从中任意摸出一个球，若摸出黑球的概率是 $\frac{4}{7}$ ，则 $m$ 的值是.

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9. 如图，已知等边 $△ ABC$ 的边长为6，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，则劣弧DE的长为 .

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10. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $D E$ 是 $B C$ 的垂直平分线，垂足为 $E$ ，交 $A C$ 于点 $D$ .若 $A B = 6$ ， $A C = 9$ ，则 $△ A B D$ 的周长是.

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11. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 开口向上且经过点 $(1 ， 1)$ ，双曲线 $y = \frac{1}{2 x}$ 经过点 $(a ， b c)$ .给出下列结论：① $b c > 0$ ；② $b + c > 0$ ；③ $b$ ， $c$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (a - 1) x + \frac{1}{2 a} = 0$ 的两个实数根.其中正确的结论是（填写序号）.

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三、解答题

12. 计算： $| 3.14 - π | + 3.14 \div {(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1)}^{0} - 2 \cos 45 ° + {(\sqrt{2} - 1)}^{- 1} + {(- 1)}^{2019}$ .

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13. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + x} \div (1 - \frac{2}{x + 1})$ ，其中 $x = - \frac{1}{3}$ .

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14. 疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机 $A P P$ 等平台进行教学视频推送.某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为： $A$ .效果很好； $B$ .效果较好； $C$ .效果一般； $D$ .效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：

(1)、此次调查中，共抽查了名学生；

(2)、补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠a的度数；

(3)、某班 $4$ 人学习小组，甲、乙 $2$ 人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般.从学习小组中随机抽取 $2$ 人，则“ $1$ 人认为效果很好， $1$ 人认为效果较好”的概率是多少?（要求画树状图或列表求概率）

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15. 如图，平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (0 ， 5)$ ，直线 $x = - 5$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ，直线 $y = - \frac{3}{8} x - \frac{39}{8}$ 与 $x$ 轴及直线 $x = - 5$ 分别交点 $C$ ， $E$ .点 $B$ ， $E$ 关于 $x$ 轴对称，连接 $A B$ .

(1)、求点 $C$ ， $E$ 的坐标及直线 $A B$ 的表达式.

(2)、设面积的和 $S = S_{△ C D E} + S_{四边形 A B D O}$ ，求 $S$ 的值.

(3)、在求（2）中 $S$ 时，嘉琪有个想法：“将 $△ C D E$ 沿 $x$ 轴翻折到 $△ C D B$ 的位置，而 $△ C D B$ 与四边形 $A B D O$ 拼接后可看成 $△ A O C$ .这样求 $S$ 便转化为直接 $△ A O C$ 的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现 $S_{△ A O C} \neq S$ .请通过计算解释她的想法错在哪里.

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16. 如图，河的两岸 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相互平行.点 $A$ 和点 $B$ 在直线 $l_{1}$ 上，点 $C$ 和点 $D$ 在直线 $l_{2}$ 上，中间隔了一座山.某人在点 $A$ 处测得 $∠ C A B = 90 °$ ， $∠ D A B = 30 °$ ，再沿 $A B$ 方向前进 $20$ 米到达点 $E$ ，测得 $∠ D E B = 60 °$ ，求 $C$ 、 $D$ 两点间的距离.

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17. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：

售价x/(元/千克)

50

60

70

销售量y/千克

100

80

60

(1)、求y与x之间的函数表达式；

(2)、设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；

(3)、试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？

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18. 如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF $//$ AB交PQ于F，连接BF.

(1)、求证：四边形BFEP为菱形；

(2)、当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；

②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.

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19. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 经过点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ .

(1)、求抛物线的表达式.

(2)、点 $D$ 为 $y$ 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 $D$ ，使 $S_{△ A B C} = \frac{2}{3} S_{△ A B D}$ ？若存在，请直接给出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)、将直线 $B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点 $E$ ，求点 $E$ 的坐标.

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售价x/(元/千克)	50	60	70
销售量y/千克	100	80	60