广西南宁市2020-2021学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-10-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | - 5 ⩽ x ⩽ 6}$ ， $B = {x | x < 0$ 或 $x > 7}$ ，则集合 $A \cap B$ 等于（）

A、 ${x | x ⩽ 6$ 或 $x > 7}$ B、 ${x | 0 < x ⩽ 6}$ C、 ${x | - 5 ⩽ x < 0}$ D、 ${x ∣ 6 ⩽ x < 7}$

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2. 已知直线 $l ： 3 x + \sqrt{3} y + 6 = 0$ ，则直线l的倾斜角是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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3. 幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象过点 $(9 ， 3)$ ，那么函数 $f (x)$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- 2 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $[0 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2)$

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4. 过点 $(1 ， 0)$ 且与直线 $x - 2 y + 3 = 0$ 平行的直线方程是（）

A、 $x - 2 y - 1 = 0$ B、 $x - 2 y + 1 = 0$ C、 $2 x + y - 2 = 0$ D、 $x + 2 y - 1 = 0$

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5. 式子 ${(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}} - \log_{3} 2 \times \log_{4} 27 + {(2021)}^{0}$ 等于（）

A、0 B、 $\frac{3}{2}$ C、-1 D、 $\frac{1}{2}$

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6. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）

A、 $f (x) = 2^{x}$ B、 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ C、 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} | x |$ D、 $f (x) = - x | x |$

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7. 已知圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的表面积为（）

A、30π B、18π C、24π D、27π

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8. 已知m､n表示两条不同的直线， $α$ 表示平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $m / / n$ ，则 $n ⊥ α$ B、若 $m / / α$ ， $m / / n$ ，则 $n / / α$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ D、若 $m / / α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$

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9. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的侧面积为（）

A、24 B、36 C、72 D、144

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{3} (x - 1) (x > 1) \\ 3^{x - 1} (x ⩽ 1) \end{array}$ ，若 $f (a) = 1$ ，则实数a的值为（）

A、-1 B、1 C、4 D、4或1

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11. 函数 $f (x) = \frac{\ln | x + 2 |}{x + 2}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知偶函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，则满足 $f (2 x - 1) < f (\frac{1}{3})$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\begin{array}{l} \frac{1}{3} ， \frac{2}{3} \end{array})$ B、 $[\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$ C、 $(\begin{array}{l} \frac{1}{2} ， \frac{2}{3} \end{array})$ D、 $[\frac{1}{2} ， \frac{2}{3})$

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二、填空题

13. 在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为．

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14. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = C C_{1} = 1$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为．

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15. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，则四棱锥 $A_{1} - B B_{1} D_{1} D$ 的体积为．

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16. 已知a是实数，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 x - 4 ， x ⩾ 2 \\ 4 - x ， x < 2 \end{array}$ ，若方程 $f (x) - a = 0$ 有两个实根，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

17. 设集合 $A = {x | 3 m - 1 < x < m + 1}$ ，函数 $f (x) = \ln (x + 2) + \frac{1}{\sqrt{8 - x}}$ 的定义域为集合B．

(1)、若 $m = - 2$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数m的取值范围．

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18. 已知关于x，y的方程 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 2 m = 0$ ．

(1)、若方程C表示为圆，求实数m的取值范围；

(2)、当 $m = - 2$ 时，曲线C与直线 $l ： 2 x + y + 1 = 0$ 相交于M，N两点，求 $| M N |$ 的值．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形 $A B / / C D ， ∠ B A D = 90 ° ， △ P A D$ 为等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D ， A B = A D = 2 C D = 2$ ，M是 $P B$ 的中点．

(1)、证明： $A C ⊥ P B$ ．

(2)、求 $P B$ 和面 $A B C D$ 所成角的正切值．

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20. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} C / /$ 平面 $D_{1} B_{1} E$ ．

(2)、求证：平面 $A_{1} C C_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} E$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (2 + x) - l o g_{a} (2 - x)$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的定义域，并判断函数 $y = f (x)$ 的奇偶性；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ .

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22. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{m - 3^{x}}{3^{x} + n}$ 是奇函数．

(1)、求m，n的值；

(2)、用定义证明 $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上为减函数；

(3)、若对于任意 $t \in R$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) < 0$ 恒成立，求k的范围．

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