广东省中山市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 能正确表示集合 $M = {x \in R | 0 \leq x \leq 2}$ 和集合 $N = {x \in R | x^{2} - x = 0}$ 的关系的韦恩图的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. “ $x > 1$ ”是“ $x > 3$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数，f(x)=lg(x-1)的定义域是（）

A、(2，+∞) B、(1，+∞) C、[1，+∞) D、[2，+∞)

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4. 渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败）.已知某种鱼失去的新鲜度 $h$ 与其出海后时间 $t$ （分）满足的函数关系式为 $h = m \cdot a^{t}$ .若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知 $\lg 2 \approx 0.3$ ，结果取整数）（）

A、33分钟 B、43分钟 C、50分钟 D、56分钟

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5. 设 $a = \log_{0.2} 2 ， b = \log_{0.2} 3 ， c = 2^{0.2} ， d = {0.2}^{2}$ ，则这四个数的大小关系是（）

A、 $a < b < c < d$ B、 $b < a < d < c$ C、 $b < a < c < d$ D、 $d < c < a < b$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 3) x - 3 ， x \leq 1 ， \\ \log_{a} x ， x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $1 < a < 3$ B、 $3 < a < 6$ C、 $3 < a \leq 6$ D、 $0 < a < 1$

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7. 三个变量y₁ ， y₂ ， y₃随着变量x的变化情况如下表：

x	1	3	5	7	9	11
y₁	5	135	625	1715	3645	6655
y₂	5	29	245	2189	19685	177149
y₃	5	6.10	6.61	6.985	7.2	7.4

则关于x分别呈对数函数､指数函数､幂函数变化的变量依次为（）

A、y₁ ， y₂ ， y₃ B、y₃ ， y₂ ， y₁ C、y₂ ， y₁ ， y₃ D、y₁ ， y₃ ， y₂

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8. 已知区间 $(a ， b)$ 是关于x的一元二次不等式 $m x^{2} - 2 x + 1 < 0$ 的解集，则 $3 a + 2 b$ 的最小值是（）

A、 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$ B、 $5 + 2 \sqrt{6}$ C、 $\frac{5}{2} + \sqrt{6}$ D、3

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二、多选题

9. 设集合 $M = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ， $N = {y | 0 \leq y \leq 2}$ ，那么下面的4个图形中，能表示集合 $M$ 到集合 $N$ 的函数关系的有（）

A、 B、 C、 D、

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10. 小王从甲地到乙地往返的速度分别为 $a$ 和 $b (a < b)$ ，其全程的平均速度为 $v$ ，则（）

A、 $a < v < \sqrt{a b}$ B、 $v = \sqrt{a b}$ C、 $\sqrt{a b} < v < \frac{a + b}{2}$ D、 $v = \frac{2 a b}{a + b}$

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11. 关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是（）

A、f(x)是偶函数 B、f(x)在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 单调递增 C、f(x)在[－π，π]有4个零点 D、f(x)的最大值为2

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a (x + 1) ， x < 0 \\ 2^{x - a} + 2^{a - x} ， x \geq 0 \end{array} ，$ ，下列四个结论中正确的有（）

A、对 $\forall a > 0$ ， $\exists t \in R$ ，使得 $f (x) = t$ 无解 B、对 $\forall t > 0$ ， $\exists a \in R$ ，使得 $f (x) = t$ 有两解 C、当 $a < 0$ 时， $t > 0$ ，使得 $f (x) = t$ 有解 D、当 $a > 2$ 时， $\exists t \in R$ ，使得 $f (x) = t$ 有三解

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三、填空题

13. 命题 $p ： \forall x \in R ， x^{2} - x \geq 0$ 的否定是.

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14. 设函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{2} x + \frac{π}{5})$ ，若对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x_{1}) \leq f (x) \leq f (x_{2})$ 成立，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为.

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15. 已知函数 $f (x) = ln (\sqrt{1 + x^{2}} - x) + 1$ ， $f (a) = 4$ ，则 $f (- a) =$ ．

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16. 用 $M_{I}$ 表示函数 $y = \sin x$ 在闭区间 $I$ 上的最大值，若正数 $a$ 满足 $M_{[0 ， a]} \geq 2 M_{[a ， 2 a]}$ ，则 $M_{[0 ， a]} =$ ； $a$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知 $\tan α = 2$ ，求下列式子的值：

(1)、 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α}$ ；

(2)、 $\sin (\frac{π}{2} + α) \cos (π - α)$ .

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18. 已知集合 $A = {x | 2 - a \leq x \leq 2 + a}$ ， $B = {x | x \leq 1$ 或 $x \geq 4}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ， $A \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 的对称轴和对称中心；

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上的最大值和最小值.

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20. 阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征.我们来看一个应用函数解析式研究对应函数图象形状的例子.对于函数 $y = \frac{1}{x}$ ，我们可以通过解析式来研究它的图象和性质，如：图象特征：
⑴在函数 $y = \frac{1}{x}$ 中，由 $x \neq 0$ ，可以推测出，对应的图象不经过 $y$ 轴，即图象与 $y$ 轴不相交；由 $y \neq 0$ ，可以推测出，对应的图象不经过 $x$ 轴，即图象与 $x$ 轴不相交；

⑵在函数 $y = \frac{1}{x}$ 中，当 $x > 0$ 时 $y > 0$ ，当 $x < 0$ 时 $y < 0$ ，可以推测出，对应的图象能分布在第一､三象限；

⑶在函数 $y = \frac{1}{x}$ 中，若 $x \in (0 ， + \infty)$ ，则 $y > 0$ ，且当 $x$ 逐渐增大时， $y$ 逐渐减小，可推测出，对应的图象越向右越靠近 $x$ 轴；若 $x \in (- \infty ， 0)$ ，则 $y < 0$ ，且当 $x$ 逐渐减小时，逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近 $x$ 轴；

⑷由函数 $y = \frac{1}{x}$ 可知 $f (- x) = - f (x)$ ，即函数 $y = \frac{1}{x}$ 是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称.

结合以上性质，逐步猜想出函数 $y = \frac{1}{x}$ 对应的图象，如图所示：

尝试类比，探究函数 $y = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ 的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试作出函数对应的图象.

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21. 已知 $f (x)$ 对任意的实数 $m$ ， $n$ 都有： $f (m + n) ＝ f (m) + f (n) - 1$ ，且当 $x > 0$ 时，有 $f (x) > 1$ ．

(1)、求 $f (0)$ ；

(2)、求证： $f (x)$ 在 $R$ 上为增函数；

(3)、若 $f (6) ＝ 7$ ，且关于 $x$ 的不等式 $f (a x - 2) + f (x - x^{2}) < 3$ 对任意的 $x \in [- 1 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间

t_{0}

、人的反应时间

t_{1}

、系统反应时间

t_{2}

、制动时间

t_{3}

，相应的距离分别为

d_{0}

、

d_{1}

、

d_{2}

、

d_{3}

，当车速为

v

（米/秒），且

v \in [0 ， 33.3]

时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数

k

随地面湿滑程度等路面情况而变化，

k \in [0.5 ， 0.9]

）．

阶段	0．准备	1．人的反应	2．系统反应	3．制动
时间	$t_{0}$ 秒	$t_{1} = 0.8$ 秒	$t_{2} = 0.2$ 秒	$t_{3}$ 秒
距离	$d_{0} = 20$ 米	$d_{1}$ 米	$d_{2}$ 米	$d_{3} = \frac{1}{20 k} v^{2}$ 米

(1)、请写出报警距离

d

（米）与车速

v

（米/秒）之间的函数关系式

d (v)

；并求

k = 0.9

时若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间；（精确到0.1秒）

(2)、若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？

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