广东省汕尾市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 集合 $A =$ { $x$ | $x$ 是小于4的正整数}， $B = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则如图阴影部分表示的集合为（）

A、 ${2 ， 3 ， 4}$ B、 ${2 ， 3}$ C、{3} D、{2}

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2. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过（4，2）点，则 $f (\frac{1}{2}) =$ （）

A、 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 设 $x$ $\in$ R，则“ $x$ ＞1”是“ $x^{2}$ ＞1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知扇形OAB的周长为12，圆心角大小为 $2 r a d$ ，则该扇形的面积是（）cm.

A、2 B、3 C、6 D、9

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5. 已知角 $α$ 的终边与单位圆相交于点 $P (- \frac{1}{3} ， \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ ，则 $\sin 2 α$ =（）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{9}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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6. 根据下表数据，可以判定方程

\ln x - \frac{3}{x} = 0

的根所在的区间是（）

$x$	1	2	$e$	3	4
$\ln x$	0	0.69	1	1.10	1.39
$\frac{3}{x}$	3	1.5	1.10	1	0.75

A、

(3 ， 4)

B、

(e ， 3)

C、

(2 ， e)

D、

(1 ， 2)

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7. 已知偶函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 0)$ 内单调递增，若 $a = f (\log_{2} \frac{1}{3})$ ， $b = f (2^{- 1.1})$ ， $c = f (\frac{1}{2})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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8. 规定从甲地到乙地通话tmin的电话费由 $f (t) = 1.6 \times (0.5 \times [t] + 1)$ (元)决定，其中t>0，[t]是大于或等于t的最小整数，如[2]＝2，[2.7]＝3，[2.1]＝3，则从甲地到乙地通话时间为4.5 min的电话费为（）元

A、4.8 B、5.2 C、5.6 D、6

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二、多选题

9. 已知集合 $A = {- 2 ， 2} ， B = {x | k x = 2}$ ，且 $B \subseteq A$ ，则实数k的取值可以为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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10. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $| a | > | b |$ B、 $a < b$ C、 $a + b < a b$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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11. 设函数 $g (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + 3 ， x \geq 0 \\ x + 3 ， x < 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $g (x) = m$ 有两个实根，则 $m$ 的取值为（）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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12. 设 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 分别表示一容器中甲、乙两种细菌的个数，且甲、乙两种细菌的个数乘积为定值 $10^{10}$ .为了方便研究，科学家用 $P_{1} ， P_{2}$ 分别来记录甲、乙两种细菌的信息，其中 $P_{1} = \lg n_{1} ， P_{2} = \lg n_{2}$ .以下说法正确的是（）

A、 $P_{1} + P_{2} = 10$ B、 $P_{1} \geq 1$ C、若今天的 $P_{1}$ 值比昨天的 $P_{1}$ 增加1，则今天的甲细菌比昨天的甲细菌增加了10个. D、已知 $\lg 5 \approx 0.7$ ，假设科学家将乙菌的个数控制为5万，则此时 $5 < P_{1} < 5.5$

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三、填空题

13. 命题 $“ \exists x \in R ， x + | x | < 0 ”$ 的否定是

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14. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 - x}}$ 的定义域为.

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15. 已知 $α 、 β$ 为锐角， $\sin α = \frac{3}{5}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{5}{13}$ ，则 $\cos β =$

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16. 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 2 a x - 7 a^{2} < 0$ 的解集为 $(x_{0} ， x_{0} + 16)$ ，则实数 $a =$

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四、解答题

17. 已知非空集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 3 m + 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x - 10 < 0}$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 一家货物公司计划在距离车站不超过8千米的范围内征地建造仓库，经过市场调查了解到下列信息：征地费用 $y_{1}$ （单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：千米）的关系为 $y_{1} = \frac{800}{3 x + 5}$ .为了交通方便，仓库与车站之间还要修一条道路，修路费用 $y_{2}$ （单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：千米）成正比.若仓库到车站的距离为3千米时，修路费用为18万元.设 $f (x)$ 为征地与修路两项费用之和.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、仓库应建在离车站多远处，可使总费用 $f (x)$ 最小，并求 $f (x)$ 最小值．

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19. 已知 $f (θ) = \frac{\cos (π - θ) \cos (\frac{3 π}{2} + θ)}{\sin (\frac{π}{2} + θ) \tan (- θ)}$ .

(1)、若 $θ$ 为第四象限角且 $\tan θ = - 2 \sqrt{6}$ ，求 $f (θ)$ 的值；

(2)、令函数 $g (x) = f (x) + \sqrt{3} \sin x$ ， $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求函数 $g (x)$ 的递增区间.

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20. 已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1}$ 为奇函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、探究 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.

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21. 在①函数 $y = f (x - \frac{π}{12})$ 的图象关于原点对称；②函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知函数 $f (x) = 4 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ ， $f (x)$ 的图象相邻两条对称轴的距离为 $\frac{π}{2}$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $g (x) = f (x) \cos 2 x$ 在 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ 上的取值范围.

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22. 已知函数 $g (x) = \log_{a} (x - a) (a > 0 ， a \neq 1)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $g (x) \leq 2$ ；

(2)、若不等式 $g (x) + \log_{a} (5 a - x) \leq 2$ 在 $x \in$ $[3 a - \frac{1}{2} ， 3 a + 1]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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