广东省揭阳市揭东县2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7} ， A = {2 ， 3 ， 4 ， 5} ， B = {2 ， 3 ， 6 ， 7}$ ，则 $B \cap C_{U} A$ =（）

A、 ${1 ， 6}$ B、 ${1 ， 7}$ C、 ${6 ， 7}$ D、 ${1 ， 6 ， 7}$

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2. 若 $\cos x = \frac{12}{13}$ ，且x为第四象限的角，则tanx的值等于（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、－ $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、－ $\frac{5}{12}$

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3. 设 $a = 3^{- 5}$ ， $b = \log_{3} 0.2$ ， $c = \log_{2} 3$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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4. 函数 $f (x) = \ln x - \frac{3}{x}$ 的零点所在的大致区间是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， e)$ C、 $(e ， 3)$ D、 $(e ， + \infty)$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \lg (x^{2} + 1) ， x > 0 \\ f (x + 3) ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 3) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、10

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6. “ $x < 1$ ”是“ $x^{2} + 2 x - 3 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 如图是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在一个周期内的图象，则其解析式是（）

A、 $f (x) = 3 \sin (x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = 3 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = 3 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = 3 \sin (2 x + \frac{π}{6})$

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8. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W \log_{2} (1 + \frac{S}{N})$ .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 $C$ 取决于信道带宽 $W$ ，信道内信号的平均功率 $S$ ，信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽 $W$ ，而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从1000提升至4000，则 $C$ 大约增加了（）附： $\lg 2 \approx 0.3010$

A、10% B、20% C、50% D、100%

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二、多选题

9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若a、b、 $c \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b$ ，则 $2^{a} > 2^{b}$ D、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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10. 如果幂函数 $f (x) = m \cdot x^{α}$ 的图象过 $(2, \frac{1}{4})$ ，下列说法正确的有（）

A、 $m = 1$ 且 $α = - 2$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 在定义域上是减函数 D、 $f (x)$ 的值域为 $(0, + \infty)$

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11. 若将函数f(x)=cos(2x+ $\frac{π}{12}$ )的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是（）

A、g(x)的最小正周期为π B、g(x)在区间[0， $\frac{π}{2}$ ]上单调递减 C、x= $\frac{π}{12}$ 是函数g(x)的对称轴 D、g(x)在[﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{6}$ ]上的最小值为﹣ $\frac{1}{2}$

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12. 已知定义在R上函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① $\forall x \in R$ ， $f (- x) = f (x)$ ；② $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ；③ $f (- 1) = 0$ .则下列选项成立的是（）

A、 $f (3) > f (- 4)$ B、若 $f (m - 1) < f (2)$ ，则 $m \in (- \infty, 3)$ C、若 $\frac{f (x)}{x} > 0$ ， $x \in (- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $\forall x \in R$ ， $\exists M \in R$ ，使得 $f (x) \geq M$

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三、填空题

13. 命题“∃x∈R，x²+2x+2≤0”的否定是．

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14. 计算： $\frac{2}{3} \lg 8 - e^{0} + {(\frac{1}{27})}^{- \frac{1}{3}} + \lg 25 =$ ．

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15. 已知 $\tan α = 2$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{2}) =$ .

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16. 若实数x ， y满足 $\log_{3} x + \log_{3} y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知集合 $M = {x ∣ - 1 < x < 4}$ ， $N = {x ∣ x - a > 0}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $M \cap N$ ， $M \cup N$ ；

(2)、若 $x \in M$ 是 $x \in N$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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18.

(1)、已知 $f (α) = \frac{\sin (2 π - α) \cos (\frac{π}{2} + α)}{\cos (- \frac{π}{2} + α) \tan (π + α)}$ ，求 $f (\frac{π}{3})$ ；

(2)、已知 $\sin α = \frac{4}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ， $\cos β = - \frac{5}{13}$ ， $β$ 是第三象限角，求 $\cos (α - β)$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (3 + 2 x)$ ， $g (x) = \log_{a} (3 - 2 x)$ .设函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ .

(1)、求函数 $F (x)$ 的定义域；

(2)、判断 $F (x)$ 奇偶性并证明；

(3)、当 $a = 2$ 时，若 $F (x) > 0$ 成立，求x的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的单调增区间；

(3)、若 $f (α) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求 $\cos (4 α - \frac{π}{3})$ 的值.

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21. 因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前 $n (n \in N_{+})$ 年的材料费、维修费、人工工资等共为（ $\frac{5}{2} n^{2} + 5 n$ ）万元，每年的销售收入55万元.设使用该设备前 $n$ 年的总盈利额为 $f (n)$ 万元.

(1)、写出 $f (n)$ 关于 $n$ 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；

(2)、使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.

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22. 已知二次函数 $f (x)$ 满足： $f (0) = f (4) = 4$ ，且该函数的最小值为1.

(1)、求此二次函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $A = [m ， n]$ （其中 $0 < m < n$ ），问是否存在这样的两个实数m ， n ，使得函数 $f (x)$ 的值域也为A？若存在，求出m ， n的值；若不存在，请说明理由.

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