广东省江门市蓬江区2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 3 \leq x \leq 7} ， B = {x | 4 < x < 10}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 3 \leq x < 10}$ B、 ${x | 7 \leq x < 10}$ C、 ${x | 3 \leq x < 4}$ D、 ${x | 4 < x \leq 7}$

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2. “ $x y > 0$ ”是“ $x > 0 ， y > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 不等式 $9 - x^{2} < 0$ 的解集为（）

A、 ${x | x > 3}$ B、 ${x | x < - 3}$ C、 ${x | - 3 < x < 3}$ D、 ${x | x < - 3 或 x > 3}$

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4. 函数 $y = \sqrt{1 - x} + \frac{1}{x + 1}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (- 1 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (- 1 ， 1]$

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5. 已知 $α$ 是第三象限角，则 $\frac{α}{2}$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第一或第四象限角 D、第二或第四象限角

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6. 函数 $f (x) = x + \frac{4}{x} (x \neq 0)$ 是（）

A、奇函数，且在 $(2 ， + \infty)$ 上单调递增 B、奇函数，且在 $(2 ， + \infty)$ 上单调递减 C、偶函数，且在 $(2 ， + \infty)$ 上单调递增 D、偶函数，且在 $(2 ， + \infty)$ 上单调递减

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7. $[x]$ 表示不超过x的最大整数，例如， $[1] = 1 ， [- 3.5] = - 4 ， [2.1] = 2$ ．若 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = \ln x - \frac{2}{x}$ 的零点，则 $[x_{0}] =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{4}$ ，BC边上的高等于 $\frac{1}{3} B C$ ，则 $cos A =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、若命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x + | x | > 0$ ，则 $\neg p ： \forall x \in R$ ， $x + | x | \leq 0$ B、命题“梯形的对角线相等”是全称量词命题 C、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 = 0$ ”是真命题 D、“ $a + 5$ 是无理数”是“ $a$ 是无理数”的充要条件

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10. 关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是（）

A、f(x)是偶函数 B、f(x)在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 单调递增 C、f(x)在[－π，π]有4个零点 D、f(x)的最大值为2

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11. 已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x²﹣4x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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12. 已知定义在R上函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① $\forall x \in R$ ， $f (- x) = f (x)$ ；② $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ；③ $f (- 1) = 0$ .则下列选项成立的是（）

A、 $f (3) > f (- 4)$ B、若 $f (m - 1) < f (2)$ ，则 $m \in (- \infty, 3)$ C、若 $\frac{f (x)}{x} > 0$ ， $x \in (- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $\forall x \in R$ ， $\exists M \in R$ ，使得 $f (x) \geq M$

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 5} ， B = {1 ， t}$ ．

(1)、集合A的真子集的个数为；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，则t的所有可能的取值构成的集合是．

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14. 已知 $\cos θ = - \frac{3}{5} ， θ \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $\sin (2 θ + \frac{π}{4}) =$ ．

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15. 已知一元二次不等式 $2 k x^{2} + k x + \frac{3}{8} > 0$ 对一切实数x都成立，则k的取值范围是．

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16. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（时）之间近似满足如图所示的图象．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为小时．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x - 2} ， x \neq 2$ ．求函数 $f (x)$ 的值域．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{- 4}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、用函数单调性的定义证明函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数．

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，锐角 $α$ 的顶点是坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点 $P (1 ， 2)$ ．

(1)、求 $\cos 2 α + \tan α$ 的值；

(2)、若 $\sin (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求角 $β$ 的值．

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20. 我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用 $I$ （单位： $W / m^{2}$ ）表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平 $L_{I}$ （单位：分贝）表示，它们满足公式： $L_{I} = 10 \cdot \lg \frac{I}{I_{0}}$ （ $L_{I} \geq 0$ ，其中 $I_{0} = 1 \times 10^{- 12}$ （ $W / m^{2}$ ））， $I_{0}$ 是人们能听到的最小强度，是听觉的开始．请回答以下问题：
（Ⅰ）树叶沙沙声的强度为 $1 \times 10^{- 12}$ （ $W / m^{2}$ ），耳语的强度为 $1 \times 10^{- 10}$ （ $W / m^{2}$ ），无线电广播的强度为 $1 \times 10^{- 8}$ （ $W / m^{2}$ ），试分别求出它们的强度水平；

（Ⅱ）某小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在 $50$ 分贝以下（不含 $50$ 分贝），试求声音强度 $I$ 的取值范围．

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21. 一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点 $P_{0}$ ）开始计算时间．

(1)、以过点O且与水面垂直的直线为y轴，过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；

(2)、在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？

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22. 已知函数 $f (x) = \sin x ， g (x) = \ln x$ ．

(1)、求方程 $f (x) = f (\frac{π}{2} - x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上的解；

(2)、求证：对任意的 $a \in R$ ，方程 $f (x) = a g (x)$ 都有解．

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