广东省惠州市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | \frac{1}{2} < x < 3}$ ，集合 $B = {x | (x + 1) (x - 2) < 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | \frac{1}{2} < x < 2}$ B、 ${x | - 1 < x < 3}$ C、 ${x | \frac{1}{2} < x < 1}$ D、 ${x | 1 < x < 2}$

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2. 函数 $f (x) = \lg x + \sqrt{2 - x}$ 的定义域为（）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $(0 ， 2]$ C、 $[0 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2]$

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3. 已知 $α$ 是第二象限角， $\cos (\frac{π}{2} + α) = - \frac{5}{13}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $- \frac{5}{12}$ B、 $- \frac{5}{13}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $- \frac{12}{5}$

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4. 已知 $y = \log_{a} x (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图象经过点 $P (3 ， 1)$ ，则 $y = x^{a}$ 的图象大致为（）．

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $a = 3^{0.2}$ ， $b = {0.2}^{3}$ ， $c = \log_{0.2} 3$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为!为了保障交通安全，根据国家有关规定： $100 ml$ 血液中酒精含量达到 $20 ~ 79 mg$ 的驾驶员即为酒后驾车，达到 $80 mg$ 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 $0.6 mg / ml$ ，如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过（）小时后才可以驾驶机动车．
（参考数据： $\lg 2 \approx 0.30$ ， $\lg 3 \approx 0.48$ ）．

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 已知 $f (x) = \sin x + \cos 2 x$ ， $g (x) = - 3 \sin x - m$ ，若对任意的 $x \in R$ ， $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，则实数 $m$ 的最小值为（）．

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $\frac{9}{4}$ D、-1

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{- x} (x \leq 0) \\ \ln \frac{1}{x} (x > 0) \end{array}$ ， $g (x) = f (x) - x - 2^{a}$ ．若 $g (x)$ 有2个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $[0 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知 $a > b > 0$ ， $c > d > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a + c > b + d$ B、 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$ C、 ${(a + b)}^{c} > {(a + b)}^{d}$ D、 $c^{a + b} > d^{a + b}$

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10. 下面选项中正确的有（）．

A、命题“ $\exists x \geq 2$ ， $x^{2} \geq 4$ ”的否定是“ $\exists x < 2$ ， $x^{2} < 4$ ” B、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 < 0$ ”的否定是“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ” C、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充要条件 D、设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的必要不充分条件

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11. 设函数 $f (x) = \cos 2 x + \sin 2 x$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、 $f (x)$ 满足 $f (\frac{π}{4} + x) = f (\frac{π}{4} - x)$ C、 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上单调递减，那么 $b - a$ 的最大值是 $\frac{π}{2}$ D、 $y = f (x)$ 的图象可以由 $y = \sqrt{2} \cos 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位得到

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{∣ x - 1} - 1 ， (0 < x \leq 2) \\ \frac{1}{2} f (x - 2) ， (x > 2) \end{array}$ ，以下说法正确的有（）

A、当 $2 < x \leq 4$ 时， $f (x) = 2^{| x - 3 | - 1} - \frac{1}{2}$ B、 $f (2 n + 1) = - {(\frac{1}{2})}^{n} (n \in N)$ C、存在 $f (2 n + 1) = - {(\frac{1}{2})}^{n} (n \in N)$ ，使得 $f (x_{0}) = 2$ D、函数 $g (x) = 4 f (x) - 1$ 的零点个数为10

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三、填空题

13. 计算 $8^{\frac{2}{3}} + \lg (10^{- 2}) + 4^{\log_{4} 3} =$ ．

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14. 若正实数 $x$ ， $y$ 满足 $2 x + y = 1$ ，则 $2 x y$ 的最大值为．

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15. 若扇形的圆心角为2弧度，弧长为 $4 c m$ ，则这个扇形的面积是 $c m^{2}$ ．

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16. 某同学为研究函数 $f (x) = \sqrt{1 + x^{2}} + \sqrt{1 + {(1 - x)}^{2}} (0 \leq x \leq 1)$ 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设 $C P = x$ ，则 $A P + P F = f （ x ）$ ．请你参考这些信息，推知函数 $f (x)$ 的图象的对称轴是；函数 $g （ x ） = 4 f （ x ） - 9$ 的零点的个数是．

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四、解答题

17. 如图，点A、B在单位圆 $O$ 上，点A的坐标为 $(\frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，点B在第二象限， $△ A O B$ 为正三角形，点C是单位圆与x轴正半轴的交点．

(1)、求 $\sin ∠ C O A$ 的值；

(2)、求 $\cos ∠ C O B$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、用“五点法”画出 $f (x)$ 在一个周期内的图象．

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19. 已知集合 $A = {x | - x^{2} + 4 x + 12 > 0}$ ，集合 $B = {x | m - 3 < x < m^{2} - 9}$ ．现有三个条件：条件① $A \cap B = B$ ，条件② $B \subseteq ∁_{R} A$ ，条件③ $A \cup B = B$ ．请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：

(1)、若 $m = 4$ ，求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 ▲ ，求 $m$ 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．

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20. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{2}{2^{x} + a} (a > 0)$ ，且 $f (0) = 0$ ．．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并证明你的结论；

(2)、若 $f (x) \geq \frac{m}{2^{x}}$ 恒成立，求 $m$ 的最大值．

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21. 汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（ $0 \leq v \leq 120$ ）的下列数据：

v

0

40

60

80

120

F

0

$\frac{20}{3}$

$\frac{65}{8}$

10

20

为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：

$F (v) = a v^{3} + b v^{2} + c v$ ， $F (v) = {(\frac{1}{2})}^{v} + a$ ， $F (v) = k \log_{a} v + b$ .

(1)、请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式.

(2)、这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？

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22. 对于函数 $f (x)$ ，若在其定义域内存在实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0} + 1) = f (x_{0}) + f (1)$ 成立，则称 $f (x)$ 有“漂移点” $x_{0}$ ．

(1)、判断函数 $f (x) = x^{2} + 2^{x}$ 在 $[0 ， 1]$ 上是否有“漂移点”，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = \lg (\frac{a}{x^{2} + 1})$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有“漂移点”，求正实数 $a$ 的取值范围．

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v	0	40	60	80	120
F	0	$\frac{20}{3}$	$\frac{65}{8}$	10	20