广东省广州市越秀区2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-13 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， A = {1 ， 2} ， B = {1 ， 4 ， 5}$ ，则 $A \cup ∁_{U} B$ （）

A、{1} B、{2} C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 4 ， 5}$

查看试题解析
2. 命题“ $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ， $\ln x = 1 - x$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \notin (0 ， + \infty)$ ， $\ln x = 1 - x$ B、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $\ln x \neq 1 - x$ C、 $\exists x \notin (0 ， + \infty)$ ， $\ln x = 1 - x$ D、 $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ， $\ln x \neq 1 - x$

查看试题解析
3. 在平面直角坐标系中，角 $θ$ 的顶点与原点重合，角 $θ$ 的始边与 $x$ 轴非负半轴重合，角 $θ$ 的终边经过点 $P (- 3 ， 4)$ ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{25}$ D、 $\frac{4}{25}$

查看试题解析
4. $\sin \frac{16 π}{3}$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
5. 为了得到函数 $y = \cos (3 x - 1)$ 的图象，只需把 $y = \cos 3 x$ 的图象上的所有点（）

A、向左平移1个单位 B、向右平移1个单位 C、向左平移 $\frac{1}{3}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{1}{3}$ 个单位

查看试题解析
6. 函数 $f (x) = \ln x + 2 x - 3$ 的零点所在的一个区间是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(1 ， \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2} ， 2)$

查看试题解析
7. 设 $a = \log_{3} 0.6$ ， $b = \log_{0.3} 0.6$ ，则（）

A、 $a b < a + b < 0$ B、 $a + b < 0 < a b$ C、 $a b < 0 < a + b$ D、 $a + b < a b < 0$

查看试题解析
8. 当生物死后，它体内的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半.2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，以此推断此水坝建成的年代大概是公元前（）（参考数据： $\log_{0.5} 0.552 \approx 0.8573$ ， $\log_{0.5} 0.448 \approx 1.1584$ )

A、2919年 B、2903年 C、4928年 D、4912年

查看试题解析
9. 下列命题中是真命题的是（）

A、“ $x \in A$ ”是“ $x \in A \cap B$ ”的充分条件 B、“ $a > b$ ”是“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”的必要条件 C、“ $m > n$ ”是“ ${0.2}^{m} > {0.2}^{n}$ ”的充要条件 D、“ $α > β$ ”是“ $\tan α > \tan β$ ”的充要条件

查看试题解析

二、多选题

10. 设 $a > 1$ ，在下列函数中，图像经过定点 $(1 ， 1)$ 的函数有（）

A、 $y = x^{a}$ B、 $y = a^{x - 1}$ C、 $y = \log_{a} x + 1$ D、 $y = a x^{3} + 1$

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (3 x - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值是2 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{3}$ C、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上是增函数 D、 $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称

查看试题解析
12. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费 $y_{1}$ （单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费 $y_{2}$ （单位：万元）与x成正比，若在距离车站10km处建仓库，则 $y_{1}$ 为1万元， $y_{2}$ 为4万元，下列结论正确的是（）

A、 $y_{1} = \frac{1}{x}$ B、 $y_{2} = 0.4 x$ C、 $y_{1} + y_{2}$ 有最小值4 D、 $y_{1} - y_{2}$ 无最小值

查看试题解析

三、填空题

13. 函数 $f (x) = \lg (x - 1) + \frac{1}{\sqrt{2 - x}}$ 的定义域是.

查看试题解析
14. 函数 $f (x) = 2 \sin (x - φ) + 4 \sin x \cos φ$ 的最大值是.

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x} ， x \geq 2 \\ f (x + 2) ， x < 2 \end{array}$ 则 $f (\log_{3} 2)$ 的值等于.

查看试题解析

16. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方式如下表：

每户每月用水量	水价
不超过12m³的部分	3元/m³
超过12 m³但不超过18 m³的部分	6元/ m³
超过18 m³的部分	9元/ m³

若某户居民本月交纳水费为66元，则此户居民本月用水量为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知1与2是三次函数 $f (x) = x^{3} + a x + b (a ， b \in R)$ 的两个零点.

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、求不等式 $a x^{2} - b x + 1 > 0$ 的解集.

查看试题解析
18. 问题：是否存在二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0 ， b ， c \in R)$ 同时满足下列条件： $f (0) = 3$ ， $f (x)$ 的最大值为4， ▲ ?若存在，求出 $f (x)$ 的解析式；若不存在，请说明理由.在① $f (1 + x) = f (1 - x)$ 对任意 $x \in R$ 都成立，②函数 $y = f (x + 2)$ 的图像关于 $y$ 轴对称，③函数 $f (x)$ 的单调递减区间是 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

查看试题解析
19. 已知 $\tan (\frac{π}{4} - α) = - 2$ .

(1)、求 $\frac{\tan 2 α}{\tan α}$ 的值；

(2)、求 $\frac{1 - \cos^{2} α + \sin 2 α}{1 - \cos 2 α}$ 的值.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{3^{x} + 1} - a (a \in R)$ .

(1)、判断 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性，并证明你的结论；

(2)、是否存在 $a$ ，使得 $f (x)$ 是奇函数？若存在，求出所有 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
21. 如图1，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图2，某摩天轮最高点Q距离地面高度AQ为110m，转盘直径为100m，设置有48个座舱，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置P进舱，转一周需要30min.

参考公式： $\sin θ - \sin ϕ = 2 \cos \frac{θ + ϕ}{2} \sin \frac{θ - ϕ}{2}$ .

参考数据： $\sin \frac{π}{15} \approx 0.2079$ ， $\sin \frac{π}{48} \approx 0.0654$

(1)、求游客甲坐在摩天轮的座舱后，开始转到10min后距离地面的高度；

(2)、以轴心 $O$ 为原点，与地面平行的直线为 $x$ 轴， $P Q$ 所在的直线为 $y$ 轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为 $y$ m，求在转动一周的过程中， $y$ 关于 $t$ 的函数解析式；

(3)、若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差 $h$ （单位：m）关于 $t$ 的函数解析式，并求高度差的最大值（结果精确到0.1m）.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）.

(1)、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，试比较 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 与 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ 的大小，并说明理由；

(2)、若 $a > 1$ ，且 $A (t ， f (t))$ ， $B (t + 2 ， f (t + 2))$ ， $C (t + 4 ， f (t + 4))$ $(t \geq 2)$ 三点在函数 $y = f (x)$ 的图像上，记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，求 $S = g (t)$ 的表达式，并求 $g (t)$ 的值域.

查看试题解析