广东省广州市天河区2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{-1} B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 4}$ D、 ${- 1 ， 4}$

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2. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(x ， - 3)$ ，且 $\cos α = - \frac{4}{5}$ ，则 $x =$ （）

A、±4 B、4 C、-4 D、 $\pm \frac{9}{4}$

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3. 已知命题 $P ： \forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 \geq 6$ ，则 $\neg P$ 是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 < 6$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 \geq 6$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x^{2} + 2 < 6$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x^{2} + 2 \geq 6$

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4. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{4})$ B、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{3 π}{4})$ C、 $f (x) = 2 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$ D、 $f (x) = 2 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{3 π}{4})$

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5. 设函数 $f (x) = x + \log_{2} x - m$ ，若函数 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{4} ， 8)$ 上存在零点，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{7}{4} ， 5)$ B、 $(- \frac{7}{4} ， 11)$ C、 $(\frac{9}{4} ， 5)$ D、 $(\frac{9}{4} ， 11)$

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6. $a^{2} > b^{2}$ 的一个充分不必要条件是（）

A、 $a > b$ B、 $| a | > | b |$ C、 $a > | b |$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）.之间的关系为 $d = A \sin (ω t + φ) + K (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ .则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为（）

A、 $\frac{10}{3} s$ B、 $\frac{20}{3} s$ C、 $10 s$ D、 $\frac{40}{3} s$

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8. 某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到 $0.8 mg/ml$ ，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时 $20 %$ 的速度减少，经过 $n$ 小时后他血液中的酒精含量在 $0.2 mg/ml$ 以下，则 $n$ 的最小整数值为（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.30$ ， $\lg 3 \approx 0.48$ ）

A、6 B、7 C、8 D、9

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二、多选题

9. 下列命题中错误的是（）

A、当 $x < 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 2$ 时， $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是4 B、当 $x < 0$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 的最大值是-2 C、当 $0 < x < 1$ 时， $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ 的最小值是2 D、当 $x \in (0 ， \frac{π}{2}]$ 时， $\sin x + \frac{1}{\sin x}$ 的最小值是2

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10. 关于函数 $y = 3 \cos (2 x + \frac{π}{3}) + 1$ ，下列结论正确的是（）

A、该函故的其中一个的期为 $- π$ B、该函数的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、将该函数的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $y = 3 \cos 2 x + 1$ 的图象 D、该函数在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递减

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11. 下列几种说法中，正确的是（）

A、面积相等的三角形全等 B、“ $x (y - 3) = 0$ ”是“ $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 0$ ”的充分不必要条件 C、若 $a$ 为实数，则“ $a < 1$ ”是“ $\frac{1}{a} > 1$ ”的必要不充分条件 D、命题“若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的否定是假命题

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12. 设函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，满足 $f (- x) - f (x) = 0$ ，且对任意的 $x \in R$ ，恒有 $f (x + 2) = f (2 - x)$ ，已知当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = 2^{2 - x}$ ，则有（）

A、函数 $f (x)$ 是周期函数，且周期为2 B、函数 $f (x)$ 的最大值是4，最小值是1 C、当 $x \in [2 ， 4]$ 时， $f (x) = 2^{2 - x}$ D、函数 $f (x)$ 在 $[2 ， 4]$ 上单调递增，在 $[4 ， 6]$ 上单调递减

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三、填空题

13. 已知 $f (x) = \log_{5} (8 - 3 x)$ 的定义域为.

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14. 求值： $\sin 25 ° \cos 115 ° + \cos 155 ° \sin 65 ° =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + a x - 1 (a \in R)$ ，若 $\forall x \in (1 ， 2)$ ， $f (x) \leq 0$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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16. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $x \geq 0$ 时， $f (x) = - \sqrt{x}$ ，若对于任意的 $x \in [t ， t + 1]$ ，不等式 $f (x + t) \leq 2 f (x)$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是.

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四、解答题

17.

(1)、求不等式 ${(x - 1)}^{2} < - x^{2} + 4 x - 3$ 的解集；

(2)、设 $x \geq 1$ ，试比较 $2 x^{3} + 1$ 与 $2 x + x^{4}$ 的大小.

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18.

(1)、已知 $\tan \frac{α}{2} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{6 \cos (α - \frac{π}{2}) + \sin (α + \frac{π}{2})}{2 \cos (α - π) - 3 \sin (α + π)}$ 的值；

(2)、已知 $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ ， $β \in (\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{4})$ ，且 $\cos (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}$ ， $\sin (\frac{π}{4} + β) = - \frac{12}{13}$ ，求 $\cos (α + β)$ .

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a e^{- x} (a \in R)$ .

(1)、求 $a$ 值，使得函数 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、当 $a = - 2$ 时，判断函数 $f (x)$ 的单调性，并根据定义证明.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \cos x (\sin x + \sqrt{3} \cos x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间和对称中心；

(2)、当 $x \in (- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6})$ 时，解不等式 $f (x)$ 的值域；

(3)、当 $x \in [- π ， π]$ 时，解不等式 $f (x) \geq 0$ .

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21. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为 $400$ 万元，每生产 $x$ 台，另需投入成本 $p (x)$ （万元），当月产量不足70台时， $p (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x$ （万元）；当月产量不小于70台时， $p (x) = 101 x + \frac{6400}{x} - 2060$ （万元）.若每台机器售价 $100$ 万元，且该机器能全部卖完.

(1)、求月利润 $y$ （万元）关于月产量 $x$ （台）的函数关系式；

(2)、月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} + 1)$ .

(1)、解关于 $x$ 的方程 $[f (x) + 1] [f (x) - 1] = 3$ ；

(2)、设函数 $g (x) = 2^{f (x)} + \frac{1}{2^{f (x)} - 1} - 2 b (x + x^{- 1}) - 1 + b^{2} (b \in R)$ ，若 $g (x)$ 在 $1 \leq x \leq 2$ 上的最小值为2，求 $b$ 的值.

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