广东省佛山市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | - 3 < x < 2}$ ， $B = {x \in Z | x \geq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， 0 ， 1}$ C、 ${0}$ D、 ${0 ， 1}$

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2. 已知 $\cos (\frac{π}{2} + α) = \frac{3}{5}$ ，那么 $\sin α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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3. 已知实数 $x$ ， $y$ ，则“ $x > y$ ”是“ $\sqrt{x - 1} > \sqrt{y - 1}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设 $a = 2^{0.3} ， b = {(\frac{1}{2})}^{- 0.5} ， c = \ln 2$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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5. 已知 $a$ ， $x_{0}$ 均为实数，且函数 $f (x) = x + \sin x + a$ ，若 $f (x_{0}) + f (- x_{0}) = 4$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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6. 已知三个函数 $y = x^{a}$ ， $y = a^{x}$ ， $y = \log_{a} x$ ，则（）

A、对任意的 $a > 0$ ，三个函数定义域都为 $R$ B、存在 $a > 0$ ，三个函数值域都为 $R$ C、对任意的 $a > 0$ ，三个函数都是奇函数 D、存在 $a > 0$ ，三个函数在其定义域上都是增函数

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7. 已知函数 $y = f (x)$ （ $x \in R$ ）满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ，且 $f (5) = 3 f (3) + 2$ ，则 $f (4) =$ （）

A、16 B、8 C、4 D、2

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8. 在“绿水青山就是金山银山”的环保理念指引下，结合最新环保法规和排放标准，各企业单位勇于担起环保的社会责任，采取有针对性的管理技术措施，开展一系列卓有成效的改造．已知某化工厂每月收入为100万元，若不改善生产环节将受到环保部门的处罚，每月处罚20万元．该化工厂一次性投资500万元建造垃圾回收设备，一方面可以减少污染避免处罚，另一方面还能增加废品回收收入．据测算，投产后的累计收入是关于月份x的二次函数，前1月、前2月、前3月的累计收入分别为100.5万元、202万元和304.5万元．当改造后累计纯收入首次多于不改造的累计纯收入时，x=（）

A、18 B、19 C、20 D、21

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二、多选题

9. 已知 $θ$ 为第二象限角，则下列结论正确的是（）

A、 $\cos θ > 0$ B、 $\cos (π - θ) > 0$ C、 $\cos (π + θ) > 0$ D、 $\cos (\frac{π}{2} + θ) > 0$

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10. 已知函数 $f (x) = | \sin x |$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 B、 $(π ， 0)$ 是 $f (x)$ 图像的一个对称中心 C、 $f (x)$ 的一个周期为 $π$ D、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 单调递减

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11. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x (x - 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 有2个零点 B、当 $x < 0$ 时， $f (x) = - x (x + 1)$ C、不等式 $f (x) < 0$ 的解集是 $(0 ， 1)$ D、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [- 1 ， 1]$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq \frac{1}{2}$

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12. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足 $M \cup N = Q$ ， $M \cap N = \emptyset$ ， $M$ 中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称 $(M ， N)$ 为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（）

A、 $M = {x | x < 0} ， N = {x | x > 0}$ 是一个戴德金分割 B、M没有最大元素，N有一个最小元素 C、M有一个最大元素，N有一个最小元素 D、M没有最大元素，N也没有最小元素

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三、填空题

13. 设幂函数 $y = f (x)$ 的图像过点 $(2. \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $f (9) =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ)$ 相邻对称轴为 $x_{1} = - \frac{π}{4}$ 和 $x_{2} = \frac{3 π}{4}$ ，且对任意的 $x$ 都有 $f (x) \geq f (\frac{3 π}{4})$ ，则函数 $f (x)$ 的单调递增区间是．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{3})}^{x} - 7 ， x < 0 \\ \log_{2} (x + 1) ， x \geq 0 \end{array}$ ，若 $f (x_{0}) < 2$ ，则实数 $x_{0}$ 的取值范围是．

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16. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起我国正式执行新个税法，个税的部分税率级距进一步优化调整，扩大3%、10%、20%三档低税率的级距，减税向中低收入人群倾斜．税率与速算扣除数见下表：

级数	全年应纳税所得额所在区间	税率（%）	速算扣除数
1	[0，36000]	3	0
2	(36000，144000]	10	2520
3	(144000，300000]	20	1692
4	(300000，420000]	25	3192
5	(420000，660000]	30	N

小华的全年应纳税所得额为100000元，则全年应缴个税为 $36000 \times 3 % + 64000 \times 10 % = 7480$ 元．还有一种速算个税的办法：全年应纳税所得额×对应档的税率-对应档的速算扣除数，即小华全年应缴个税为 $100000 \times 10 % - 2520 = 7480$ 元．按照这一算法，当小李的全年应纳税所得额为200000元时，全年应缴个税为，表中的N=.

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四、解答题

17. 设函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求使函数 $f (x)$ 取最大值时自变量 $x$ 的集合．

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18. 在① $A \cap B = \emptyset$ ，② $A \cap (∁_{R} B) = A$ ，③ $A \cap B = A$ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：
已知集合 $A = {x | a - 1 < x < 2 a + 3}$ ， $B = {x | - 7 \leq x \leq 4}$ ，若 ▲ ，求实数 $a$ 的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x + 1 ， x \leq 0 \\ | \log_{2} x | ， x > 0 \end{array}$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，在给定的平面直角坐标系中作出函数 $f (x)$ 的图象，并写出它的单调递减区间；

(2)、若 $f (x_{0}) = 2$ ，求实数 $x_{0}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x + 3$ （ $a \in R$ ）．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、解不等式 $f (x) > 0$ ．

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21. 生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．脉搏率f是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重W（单位：g）与脉搏率f存在着一定的关系．表1给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了体重W与脉搏率f的散点图，图2画出了lgW与lgf的散点图．

动物名	体重	脉搏率
鼠	25	670
大鼠	200	420
豚鼠	300	300
兔	2000	200
小狗	5000	120
大狗	30000	85
羊	50000	70

表1

为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有以下两种模型供选择：

① $f = k W + b$ ② $\lg f = k \lg W + b$

（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ， $\lg 3 \approx 0.5$ ．）

(1)、选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；

(2)、不妨取表1中豚鼠和兔的体重脉搏率数据代入所选函数模型，求出

f

关于

W

的函数解析式；

(3)、若马的体重是兔的256倍，根据（2）的结论，预计马的脉搏率．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a e^{- x}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数， $a \in R$ ．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 内有零点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 4$ 时， $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $m f (x) \geq e^{- x} + 3 m$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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