福建省福州市罗源县（协作体三校）2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = R ， M = {0 ， 1 ， 2 ， 3} ， N = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，则图中阴影部分所表示的集合是（）

A、{1} B、 ${0 ， 1}$ C、{0} D、{-1}

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2. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} ， (x \geq 0) \\ - x ， (x < 0) \end{matrix}$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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3. “ $\sin x = \frac{1}{2}$ ”是“ $x = 2 k π + \frac{π}{6} (k \in Z)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $a = \log_{0.6} 3 ， b = {0.6}^{3} ， c = 3^{0.6}$ ，则（）

A、a<b<c B、a<c<b C、c<a<b D、b<c<a

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5. 若 $\cos (α - \frac{5 π}{12}) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则 $\sin (α + \frac{π}{12}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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6. 函数 $y = (2^{x} - 2^{- x}) \sin x$ 在 $[- π ， π]$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 要得到函数 $y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象，只需将函数 $y = 3 \sin 2 x$ 的图象向（）平移（）个单位长度．

A、左 $\frac{π}{4}$ B、右 $\frac{π}{4}$ C、左 $\frac{π}{8}$ D、右 $\frac{π}{8}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 {}^{x}- 1 ， x > 0 \\ - x {}^{2}- 2 x ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有3个零点，则实数m的取值范围（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $[- 1 ， 0]$ C、（0，1） D、 $[0 ， 1]$

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二、多选题

9. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $- 2 < a < 3 ， 1 < b < 2$ ，则 $- 4 < a - b < 2$ C、若 $b < a < 0 ， m < 0$ ，则 $\frac{m}{a} > \frac{m}{b}$ D、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a c > b d$

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10. 若sin α＝ $\frac{4}{5}$ ，且α为锐角，则下列选项中正确的有（）

A、tan α＝ $\frac{4}{3}$ B、cos α＝ $\frac{3}{5}$ C、 $\sin (α + 60 {}^{\circ}) = \frac{4 + 3 \sqrt{3}}{10}$ D、sin α－cos α＝ $- \frac{1}{5}$

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11. 下列叙述正确的是（）

A、已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 - | x + 2 | ， x \in [- 4 ， 0] \\ 2 f (x - 4) ， x \in (0 ， + \infty) \end{matrix}$ ，则 $f (6) = 8$ B、命题“对任意的 $x > 1$ ，有 $x^{2} > 1$ ”的否定为“存在 $x \leq 1$ ，有 $x^{2} \leq 1$ ” C、已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是2 D、已知 $x {}^{2}- 5 a x + b > 0$ 的解集为 ${x | x > 4$ 或 $x < 1}$ ，则 $a + b = 5$

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12. 知函数 $f (x) = | \sin (2 x - \frac{π}{3}) |$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ B、函数 $f (x)$ 增区间是 $[\frac{k π}{2} + \frac{π}{6} ， \frac{k π}{2} + \frac{5 π}{12}] (k \in Z)$ C、函数 $f (x)$ 是奇函数 D、函数图象关于直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称

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三、填空题

13. 已知 $\sin θ + \cos θ = - \frac{1}{3}$ ，则 $\sin 2 θ =$ .

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14. 若函数f（x）= $\sqrt{x^{2} + a x + a}$ 的定义域为R，则实数a的取值范围是：.

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15. 函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x - x^{2})$ 的单调增区间为

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16. 水葫芦又名凤眼莲，是一种原产于南美洲亚马孙河流域属于雨久花科，凤眼蓝属的一种漂浮性水生植物，繁殖极快，广泛分布于世界各地，被列入世界百大外来入侵种之一．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：

①此指数函数的底数为2；

②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m²；

③野生水葫芦从4m²蔓延到12m²只需1.5个月；

④设野生水葫芦蔓延至2m²、3m²、6m²所需的时间分别为t₁、t₂、t₃ ，则有t₁＋t₂＝t₃；

⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．

其中，正确的是． (填序号)．

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{6 \frac{1}{4}} - （ π - 1 ）^{0} - {(3 \frac{3}{8})}^{\frac{1}{3}} + {(\frac{1}{64})}^{- \frac{2}{3}} + \lg 25 + \lg 4 + 7 {}^{\log {}_{7}2}$ ；

(2)、已知 $\tan α = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{1 + 2 \sin (π - α) \cos (- 2 π + α)}{\sin^{2} (π + α) - \sin^{2} (\frac{π}{2} - α)}$ 的值

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18. 已知集合 $A = {x | \frac{2 - x}{3 + x} \geq 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $C = {x | a < x < a + 1}$ ．

(1)、求集合A，B及 $A \cup B$ ．

(2)、若 $C \subseteq (A \cap B)$ ，求实数a的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \sin (x + \frac{π}{2})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{2}{3} π]$ 上的值域．

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20. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x}} (a \in R)$ 为定义在R上的奇函数．

(1)、求实数a的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并证明；

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21.

(1)、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的图象与x轴的交于A，B两点，A，B两点的最小距离为 $\frac{π}{2}$ ，且该函数的图象上的一个最高点的坐标为 $(\frac{π}{12} ， 2)$ ．求函数 $f (x)$ 的解析式

(2)、已知角 $α$ 的终边在直线 $y = \sqrt{3} x$ 上，求下列函数的值： $\sin α ， \cos α ， \tan α$

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22. 某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x百件，需另投入成本 $c (x)$ （单位：万元），当年产量不足30百件时， $c (x) = 10 x^{2} + 100 x$ ；当年产量不小于30百件时， $c (x) = 501 x + \frac{10000}{x} - 4500$ ；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.

(1)、求年利润y（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；

(2)、年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？

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