安徽省阜阳市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm²的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} = 5 ， S_{9} = 81$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、18 B、13 C、9 D、7

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3. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前100项的和为（）

A、 $\frac{101}{100}$ B、 $\frac{200}{101}$ C、 $\frac{99}{100}$ D、 $\frac{101}{200}$

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4. 设 $2^{a} = 27$ ，则 $\log_{3} 2$ 等于（）

A、 $3 a$ B、 $a^{3}$ C、 $\frac{1}{3 a}$ D、 $\frac{3}{a}$

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5. 平行四边形 $A B C D$ 中，若点 $M ， N$ 满足 $\overset{⇀}{B M} = \overset{⇀}{M C}$ ， $\overset{⇀}{D N} = 2 \overset{⇀}{N C}$ ，设 $\overset{⇀}{M N} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A D}$ ，则 $λ - μ =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $- \frac{5}{6}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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6. $△ ABC$ 的外接圆的圆心为O，半径为1，若 $\overset{⇀}{A B} + \bar{A C} = 2 \overset{⇀}{A O}$ ，且 $| \overset{⇀}{A O} | = | \overset{⇀}{A C} |$ ，则 $△ ABC$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、1

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7. 函数y =|x²-1|与y =a的图象有4个交点，则实数a的取值范围是（）

A、(0， $+ \infty$ ) B、(-1，1) C、(0，1) D、(1， $+ \infty$ )

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8. 给出下列四种说法：
① 若平面 $α / / β$ ，直线 $a \subset α ， b \subset β$ ，则 $a / / b$ ；② 若直线 $a / / b$ ，直线 $a / / α$ ，直线 $b / / β$ ，则 $α / / β$ ；③ 若平面 $α / / β$ ，直线 $a \subset α$ ，则 $a / / β$ ； ④ 若直线 $a / / α$ ， $a / / β$ ，则 $α / / β$ . 其中正确说法的个数为 ( ）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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9. 平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为 $\sqrt{2}$ ，则此球的体积为（）

A、 $\sqrt{6}$ π B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $4 \sqrt{6} π$ D、 $6 \sqrt{3} π$

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10. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 是奇函数且满足， $f (\frac{3}{2} - x) = f (x) ， f (- 2) = - 3$ ，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 1$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} + n$ ，(其中 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和).则 $f (a_{5}) + f (a_{6}) =$ （）

A、3 B、-2 C、-3 D、2

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11. 如图所示的程序框图中，输入 $x = 2$ ，则输出的结果是 $($ 　　 $)$

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 焦点在y轴上，焦距等于4，离心率等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆的标准方程是（　　）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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二、填空题

13. 设函数 $f (x) > 0 = {\begin{array}{l} \log_{2} (x - 1) ， x \geq 2 \\ {(\frac{1}{2})}^{x} - 1 ， x < 2 \end{array}$ ，若 $f (x_{0}) > 1$ ，则 $x_{0}$ 的取值范围是.

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14. 在 $Δ A B C$ 中， $\tan A + \tan B + \sqrt{3} = \sqrt{3} \tan A \cdot \tan B$ ，则 $C$ 等于．

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15. 已知两点 $A (- 1 ， - 3)$ ， $B (3 ， a)$ ，以线段 $A B$ 为直径的圆经过原点，则该圆的标准方程为.

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16. 在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若a=4，b=6，c=9，则角C= ．

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三、解答题

17. 在边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，E为 $B C$ 的中点.

(1)、用 $\overset{⇀}{A D}$ 和 $\overset{⇀}{A B}$ 表示 $\overset{⇀}{A E}$ ；

(2)、求 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{B D}$ 的值.

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18. 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组 $[20 ， 25)$ ，第2组 $[25 ， 30)$ ，第3组 $[30 ， 35)$ ，第4组 $[35 ， 40)$ ，第5组 $[40 ， 45]$ ，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)、若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

(2)、在（1）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第5组志愿者有被抽中的概率.

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19.

(1)、已知 $3 sin x + cos x = 0$ ，求 ${sin}^{2} x + 2 sin x cos x + {cos}^{2} x$ 的值；

(2)、已知 $cos (\frac{π}{2} - α) = - \sqrt{2} cos (\frac{3 π}{2} - β)$ ， $\sqrt{3} sin (\frac{3 π}{2} - α) = - \sqrt{2} sin (\frac{π}{2} + β)$ ，且 $\frac{π}{2} < α < π, 0 < β < π$ ，求 $α, β$ 的值．

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20. 已知向量m＝(cosx，sinx)，n＝(2 $\sqrt{2}$ ＋sinx，2 $\sqrt{2}$ －cosx)，函数 $f (x) > 0$ ＝m·n，x∈R.

(1)、求函数 $f (x) > 0$ 的最大值；

(2)、若 $x$ $\in$ $(- \frac{3}{2} π ， - π)$ 且 $f (x)$ ＝1，求 $\cos (x + \frac{5 π}{12})$ 的值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $4 a_{n} = a_{n - 1} - 3$ （ $n \geq 2$ ，且 $n \in N^{*}$ ），且 $a_{1} = - \frac{3}{4}$ ，设 $b_{n} + 2 = 3 \log_{\frac{1}{4}} (a_{n} + 1)$ ， $n \in N^{*}$ ，数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = (a_{n} + 1) b_{n}$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列并求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(3)、对于任意 $n \in N^{*}$ ， $t \in [0, 1]$ ， $c_{n} ⩽ t m^{2} - m - \frac{1}{2}$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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22. 设函数 $f (x) = a x^{2} + 4 x + b$ .

(1)、当 $b = 2$ 时，若对于 $x \in [1, 2]$ ，有 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、已知 $a > b$ ，若 $f (x) \geq 0$ 对于一切实数 $x$ 恒成立，并且存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $a x_{0}^{2} + 4 x_{0} + b = 0$ 成立，求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b}$ 的最小值.

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