重庆市缙云教育联盟2021-2022学年高二上学期数学9月月度质量检测试卷

试卷更新日期：2021-10-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2^{x} > \frac{1}{4} ， x \in Z}$ ， $B = {a ， 2 a}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则 $a$ 的值可能是（）

A、-1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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2. 若 $x ， y$ 满足 $- \frac{π}{4} < x < y < \frac{π}{4}$ ，则 $x - y$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{π}{2} ， 0)$ B、 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ C、 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ D、 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4})$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{3}} x ， x \geq 3 \\ 2^{x} ， x < 3 \end{array}$ ，则 $f (f (81)) =$ （）

A、16 B、 $- \log_{3} 4$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\log_{3} 4$

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4. 已知两曲线 $y = x^{3} + a x$ 和 $y = x^{2} + b x + c$ 都经过点 $P (1 ， 2)$ ，且在点 $P$ 处有公切线，则当 $x \geq \frac{1}{2}$ 时， $\log_{b} \frac{a x^{2} - c}{2 x}$ 的最小值为（）

A、-1 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、0

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5. 已知锐角△ $A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $2 a sin C = \sqrt{3} c$ ， $a = 1$ ，则△ $A B C$ 的周长取得最大值时△ $A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、4

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6. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ ，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线 $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的一点，则 $△ A B D$ 的面积的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6} - 3}{3}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{3}$

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7. 若复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 1 + 2 i$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8. 将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角 $A - B D - C$ 的平面角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，若点E，F分别是线段AC和BD上的动点，则 $\vec{B E} \cdot \vec{C F}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1 ， 0]$ B、 $[- 1 ， \frac{1}{4}]$ C、 $[- \frac{1}{2} ， 0]$ D、 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{4}]$

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二、多选题

9. 旅游是人们为寻求精神上的愉快感受而进行的非定居性旅行和游览过程中所发生的一切关系和现象的总和．随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从2020年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式如图所示，则下列结论不正确的有（）

A、估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数少于选择自助游的青年人人数的一半 B、估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的13.5% C、估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比选择自助游的青年人多 D、估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为25%

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10. 下列命题是真命题的有（）.

A、直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 2)$ ，直线 $m$ 的方向向量为 $\vec{b} = (2 ， 1 ， - \frac{1}{2})$ ，则 $l$ 与 $m$ 垂直 B、直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a} = (0 ， 1 ， - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (1 ， - 1 ， - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ C、平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别为 $\vec{n_{1}} = (0 ， 1 ， 3)$ ， $\vec{n_{2}} = (1 ， 0 ， 2)$ ，则 $α // β$ D、平面 $α$ 经过三点 $A (1 ， 0 ， - 1)$ ， $B (0 ， 1 ， 0)$ ， $C (- 1 ， 2 ， 0)$ ，向量 $\vec{n} = (1 ， u ， t)$ 是平面 $α$ 的法向量，则 $u + t = 1$

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11. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点，则（）

A、过点 $F_{2}$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $△ A B F_{1}$ 的周长为4 B、椭圆 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ C、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ D、 $P$ 为椭圆 $C$ 上一点， $Q$ 为圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点，则点 $P$ ， $Q$ 的最大距离为3

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12. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点，则（）

A、过点 $F_{2}$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $△ A B F_{1}$ 的周长为4 B、椭圆 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ C、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ D、 $P$ 为椭圆 $C$ 上一点， $Q$ 为圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点，则点 $P$ ， $Q$ 的最大距离为3

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三、填空题

13. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，以 $F$ 为圆心，以 $| O F |$ 为半径的圆交双曲线 $C$ 的右支于 $P$ ， $Q$ 两点（ $O$ 为坐标原点）， $Δ O P Q$ 的一个内角为 $60 °$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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14. 已知点 $P (1 ， 1)$ 和圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 m x + 4 y + m + 6 = 0$ ，若过点P作圆C的切线有两条，则实数m的取值范围是．

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15. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD和侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 都是矩形，E是CD的中点， $D_{1} E ⊥ C D$ ， $A B = 2 B C = 2.$ 若平面 $B C C_{1} B_{1}$ 与平面 $B E D_{1}$ 所成的锐二面角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，则线段 $D_{1} E$ 的长度为．

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16. 已知红箱内有3个红球、2个白球，白箱内有2个红球、2个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第 $n + 1$ 次从与第 $n$ 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．则第4次取出的球是红球的概率为．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b \sin A = a \cos (B - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 依次成等比数列，求 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan C}$ 的值．

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18. 已知z是复数，且 $z - i$ 和 $\frac{z}{1 - i}$ 都是实数，其中i是虚数单位．

(1)、求复数z和 $| z |$ ；

(2)、若复数 $z + m + 2 + (m^{2} - m - 5) i$ 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．

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19. 数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价.截至2021年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费､餐饮服务､交通出行､购物消费､政务服务等领域.为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了-次问卷调查，部分结果如下：

学历	小学及以下	初中	高中	大学专科	大学本科	硕士研究生及以上
不了解数字人民币	35	35	80	55	64	6
了解数字人民币	40	60	150	110	140	25

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

(1)、如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的

2 \times 2

列联表；

学历了解情况	低学历	高学历	合计
不了解数字人民币
了解数字人民币
合计

(2)、若从低学历的被调查者中，按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，然后从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率；

(3)、根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？

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20. 《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体 $P A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C = B C$ ， $D$ 是棱 $A B$ 的中点．

(I)证明： $C D ⊥ P B$ ．并判断四面体 $P A C D$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由．

(Ⅱ)若四面体 $P A B C$ 是鳖臑，且 $A P = A B = 2$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值．

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21. 已知圆 $C ： {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ ．

(1)、若直线l过点 $A (2 ， 3)$ 且被圆C截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程；

(2)、若直线l过点 $B (1 ， 0)$ 与圆C相交于P ， Q两点，求 $△ C P Q$ 的面积的最大值．

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22. 作斜率为 $- 1$ 的直线l与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 交于 $A ， B$ 两点（如图所示），点 $P (1 ， 2)$ 在抛物线C上且在直线l上方．

（Ⅰ）求C的方程并证明．直线 $P A$ 和 $P B$ 的倾斜角互补．

（Ⅱ）若直线 $P A$ 的倾斜角为 $θ (\frac{π}{4} < θ < \frac{π}{2})$ ，求 $△ P A B$ 的面积的最大值.

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