四川省成都市郫都区2021-2022高三上学期文数阶段性检测试卷（一）

试卷更新日期：2021-10-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x \in N | x < 3}$ ，那么集合 $A \cup B$ 等于（）

A、 $[- 1 ， 3)$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 复数 $z = - 2 i^{2} - i + 1$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、-i B、i C、-1 D、1

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3. 为比较甲，乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场的得分制成如图所示的茎叶图. 有下列结论：

①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.其中所有正确结论的序号是（）

A、②③ B、①④ C、①③ D、②④

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4. 设计如下图的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为（）

A、0.7 B、0.4 C、0.6 D、0.3

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6. 执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、0 D、3

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7. 已知奇函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ， $f (1 - x) = f (x)$ ，当 $x \in (0 ， \frac{1}{2}]$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + \frac{1}{2})$ ，则 $f (\frac{5}{2}) =$ （）

A、 $\log_{2} 3$ B、1 C、-1 D、0

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8. 已知某几何体的三视图如图所示，其中小方格是边长为1的正方形，则该几何体的外接球的表面积为（）

A、68π B、52π C、36π D、48π

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9. 若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\sin α + \cos α = 4 \cos 2 α ，$ 则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{15}{16}$ B、 $\frac{\sqrt{31}}{16}$ C、 $- \frac{\sqrt{31}}{16}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{31}}{16}$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 1)$ ，射线 $A B$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 及直线 $l ： x = - 2$ 分别交于点 $M$ ， $N$ ，设 $\vec{A M} = λ \vec{M N}$ ，则 $λ$ 的值为（）．

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A ， B$ 分别是 $x$ 轴正半轴和 $y = x (x > 0)$ 图象上的两个动点，且 $| A B | = 2$ ，则 $Δ O A B$ 面积的最大值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2} + 2$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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12. 已知 $f (x) = a e^{x} - \frac{\ln x}{x} - 1$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、 $(0 ， \frac{2}{e})$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{e})$ D、 $(- \infty ， \frac{2}{e})$

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二、填空题

13. 已知某产品的销售额 $y$ 与广告费 $x$ 之间的关系如下表：

$x$ （单位：万元）

0

1

2

3

4

$y$ （单位：万元）

10

15

m

30

35

若根据表中的数据用最小二乘法求得 $y$ 对 $x$ 的回归方程为 $y = 6.5 x + 9$ ，则 $m$ 的值是.

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14. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线过点 $(1 ， - 3)$ ，则 $C$ 的离心率为.

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15. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的向量，若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $8 \vec{a} + k \vec{b}$ 的方向相反，则实数 $k =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， x > 0 \\ - 2 x^{2} + 4 x + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) + k x$ 恰好有两个零点，则实数 $k$ 等于．

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三、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{2} = 1$ ．
从下面的两个条件中任选其中一个：① $2 a_{5} - a_{3} = 11$ ；② $S_{4} = 8$ ，求解下列问题：

（注：条件①、②只能任选其一，若两个都选，则以条件①计分）

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{S_{n + 2}}$ ，试比较数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 与 $\frac{3}{4}$ 的大小.

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18. 今年7号台风“查帕卡”在我国沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，大学生小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成

[0 ， 2000)

、

[2000 ， 4000)

、

[4000 ， 6000)

、

[6000 ， 8000)

、

[8000 ， 10000]

五组作出频率分布直方图，如图：

经济损失	不超过4000元	超过4000元	合计
捐款超过500元	60
捐款不超过500元		10
合计

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
K	3.841	6.635	10.828

(1)、台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表格，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

(2)、若损失超过平均数则视为损失严重，求这100户居民大约有多少户损失严重？（结果保留整数）

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19. 如图所示的几何体中， $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A P // B F // D E$ ， $A P = A B = 2 B F = 2 D E = 4$ .

(1)、求证： $P B / /$ 平面 $C D E$ ；

(2)、求三棱锥 $P - A E F$ 的体积.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 分别是其左､右焦点，点A､B分别为其左､右顶点.若两焦点与短轴两端点围成四边形面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{3}{4}$ 为该四边形的内切圆.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若以（1）中较圆的椭圆为研究对象，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $P ， Q$ 两点，求 $Δ B P Q$ 面积的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = a x - a - \ln x ， a \in R$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求实数 $a$ 取值的集合；

(3)、当 $a = 0$ 时，对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty) ， x_{1} < x_{2}$ ，令 $x_{3} = \frac{x_{2} - x_{1}}{f (x_{1}) - f (x_{2})}$ ，证明： $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ .

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22. 已知直线 $l$ 在平面直角坐标系中经过点 $P (\frac{1}{2} ， 1)$ ，倾斜角 $α = \frac{π}{4}$ ，在直角坐标系 $x O y$ 中，若以 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C的极坐标方程为 $ρ = \sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{4})$ .

(1)、写出直线 $l$ 的参数方程，并把圆 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标系下的普通方程；

(2)、设 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，且 $A ， B$ 的中点为 $M$ ，求 $P M$ 的长及 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 |$ ， $g (x) = | 2 x + 1 | - | 2 x - 3 |$ ．

(1)、画出 $y = g (x)$ 的图象；

(2)、若 $f (x + a) \geq g (x)$ ，求 $a$ 的取值范围．

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$x$ （单位：万元）	0	1	2	3	4
$y$ （单位：万元）	10	15	m	30	35