山西省长治市2022届高三上学期理数9月质量监测试卷

试卷更新日期：2021-10-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设复数 $z = 1 + b i (b \in R)$ ，且 $z^{2} = - 3 + 4 i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $2 i$ B、 $- 2 i$ C、2 D、-2

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2. 集合 $M = {x \in N | y = \sqrt{x + 1} \ln (3 - x)}$ ，集合 $P = {x | 2^{x} < 4}$ ，则 $M \cap P =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1}$ D、{1}

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3. 已知 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x - 1 > 0$ ； $q$ ： $\exists x \in R$ ， $2^{x} > 3^{x}$ ，则真命题是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \lor (\neg q)$ C、 $(\neg p) \lor q$ D、 $(\neg p) \land (\neg q)$

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4. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、4

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5. 已知 $\vec{a}$ ＝（1，－2），则与 $\vec{a}$ 反方向的单位向量是（）

A、（ $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ） B、（ $- \frac{1}{5}$ ， $\frac{2}{5}$ ） C、（ $\frac{1}{5}$ ， $- \frac{2}{5}$ ） D、（ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ）

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6. 往正方体的外接球内随机放入n个点，恰有m个点落入该正方体内，则π的近似值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3} m}{n}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3} m}{3 n}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} n}{m}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3} n}{3 m}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且在（0，＋∞）上为单调函数，则满足 $f (x) = f (\frac{x + 2}{x + 3})$ 的所有实数x的和为（）

A、－6 B、6 C、8 D、－8

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8. 已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（）

A、 $[- \frac{3 π}{8} + 2 k π ， \frac{π}{8} + 2 k π] (k \in Z)$ B、 $[- \frac{3 π}{8} + k π ， \frac{π}{8} + k π] (k \in Z)$ C、 $[\frac{π}{8} + 2 k π ， \frac{5 π}{8} + 2 k π] (k \in Z)$ D、 $[\frac{π}{8} + k π ， \frac{5 π}{8} + k π] (k \in Z)$

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9. 已知 $(2 x^{2} + 1) {(\frac{a}{x^{2}} - 1)}^{5}$ 的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（）

A、-10 B、-7 C、9 D、10

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10. 已知 ${a_{n}}$ 是首项为2的等比数列， $S_{n}$ 是其前n项和，且 $\frac{S_{6}}{S_{3}} = \frac{65}{64}$ ，则数列 ${\log_{2} a_{n}}$ 前20项和为（）

A、﹣360 B、﹣380 C、360 D、380

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11. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形 $A B C D$ 截某圆锥得到椭圆 $τ$ ，且 $τ$ 与矩形 $A B C D$ 的四边相切，椭圆 $τ$ 的离心率为0.6，若点 $M$ ， $N$ 为椭圆 $τ$ 长轴的两个端点， $P$ 为椭圆上除去长轴端点外的任意一点，则 $△ P M N$ 面积的取值范围是（）

A、 $(0 ， 80)$ B、 $(0 ， 80]$ C、 $(0 ， 160)$ D、 $(0 ， 160]$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， & x > 0 \\ \frac{1}{a} x ， & x < 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - f (- x)$ 有四个零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- e ， + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{e} ， 0)$ C、 $(- \infty ， - e)$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{e})$

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二、填空题

13. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为.

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14. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y - 2 x - 1 < 0 \\ 2 y - x + 1 > 0 \\ x + y - 1 < 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的取值范围是.

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15. 已知三棱锥 $A - B C D$ 中， $B C = C D = 2$ ， $B D = 2 \sqrt{2}$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $△ A B D$ 是等边三角形，则三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的表面积为.

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16. 设 $Δ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ且 $a \cos C - \frac{1}{2} c = b$ .若 $a = 1$ ，则 $Δ A B C$ 的周长的取值范围为：

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三、解答题

17. 为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查.结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用.为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表：

	无疲乏症状	有疲乏症状	总计
未使用新药	150	25	t
使用新药	x	y	100
总计	225	m	275

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

(1)、求

2 \times 2

列联表中的数据x，y，m，t的值，并确定能否有95%的把握认为有疲乏症状与使用该新药有关；

(2)、从有疲乏症状的接受调查的人当中随机抽取3人进行进一步了解，记X为抽到使用新药的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

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18. 平行四边形ABCD中（图1）， $∠ A = 60^{°}$ ， $A B = 2 A D$ ，将 $△ A B D$ 以BD为折痕折起，使得平面 $A^{'} B D ⊥$ 平面BCD，如图2.

(1)、证明：平面 $A^{'} B C ⊥$ 平面 $A' B D$

(2)、M为线段 $A^{'} C$ 上靠近 $A^{'}$ 的三等分点，求二面角 $M - B D - C$ 的余弦值.

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19. 在数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 中，已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = a_{n} b_{n} - 1 (n \in N_{+})$

(1)、若 $b_{n} = n + 2$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n} = 2^{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 已知抛物线C：y²＝2px(p $>$ 0)的焦点为F，且点F与圆M：(x＋4)²＋y²＝1上点的距离的最小值为4.

(1)、求C的方程；

(2)、设点T(1，1)，过点T且斜率存在的两条直线分别交曲线C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 4 a x + 4 \ln x + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} > x_{2}$ ），求证： $f (x_{1}) - f (x_{2}) < - 2 (a - 1) (x_{1} - x_{2})$ .

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} cos α \\ y = sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系下取相同的长度单位，建立极坐标系.点P的极坐标为 $(2 ， \frac{π}{4})$ ，直线l经过点P，且与极轴所成角为 $\frac{3 π}{4}$ .

(1)、写出曲线C的普通方程和直线l的以P为定点的标准参数方程；

(2)、设点M为曲线C上的动点，求点M到直线l的距离d的最大值.

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23. 已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|.

(1)、求不等式f(x)≤7的解集；

(2)、若不等式f(x)≥x²＋mx－1的解集包含区间[－1，1]，求实数m的取值范围.

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