全国老高考省份2021-2022学年高三上学期理数9月月考理科数学质量检测试题

试卷更新日期：2021-10-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设命题 $p ： \forall x > 0 ， x^{2} > 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x_{0} \leq 0 ， x_{0}^{2} \leq 0$ B、 $\forall x \leq 0 ， x^{2} > 0$ C、 $\forall x > 0 ， x^{2} \leq 0$ D、 $\exists x_{0} > 0 ， x_{0}^{2} \leq 0$

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 < 0} ， B = {x | 0 < x < 1}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | - 2 < x \leq 0}$ B、 ${x | - 2 < x \leq 0$ 或 $1 \leq x < 3}$ C、 ${x | 1 \leq x < 3}$ D、 ${x | - 2 < x < 0$ 或 $1 < x < 3}$

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3. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[1 ， 3]$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (2 x - 1)}{\sqrt{x - 1}}$ 的定义域为（）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $(1 ， 5]$ C、 $[1 ， 2]$ D、 $[1 ， 5]$

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4. 我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系.声音的强度常用 $I$ (单位：瓦/米² ，即 $W / m^{2}$ )表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用 $L$ (单位：分贝)表示，它们满足换算公式： $L = 10 \lg \frac{I}{I_{0}}$ ( $L \geq 0$ ，其中 $I_{0} = 1 \times 10^{- 12} W / m^{2}$ 是人们平均能听到的声音的最小强度).若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝，则声音的强度应变为原来的（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{100}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{20}$

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5. 已知命题 $p ： \exists x_{0} > 0 ， \ln x_{0} < 0$ ，命题 $q ： \forall x \in R ， e^{x} > 1$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、 $\neg p \lor q$ B、 $p \land q$ C、 $p \land \neg q$ D、 $\neg (p \lor q)$

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6. 甲､乙，丙､丁四位学生中，其中有一位做了一件好事，但不知道是哪一位学生.老师对甲､乙，丙､丁四人进行询问，四人的回答如下；甲：我没做；乙：是甲做的；丙：不是我做的；丁：是乙做的.如果其中只有一个人说了真话，那么做好事的人是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7. “ $a = 1$ ”是“函数 $f (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} - a x)$ 为奇函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 若 $a = {(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{5}}$ ， $b = {(\frac{3}{5})}^{\frac{1}{2}}$ ， $c = \log_{\frac{3}{5}} \frac{1}{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $b > c > a$ B、 $c > a > b$ C、 $a > b > c$ D、 $c > b > a$

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9. 函数 $f (x) = \frac{x (2^{x} - 1)}{2 (2^{x} + 1)}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同.当牛奶放在 $0^{\circ} C$ 的冰箱中，保鲜时间为 $192 h$ ；而放在 $22 ℃$ 的厨房中，保鲜时间则为 $48 h .$ 假定保鲜时间 $y ($ 单位：） $h$ 与储藏温度 $x$ （单位： $^{o} C$ ）之间的关系为 $y = k \cdot a^{x} (k$ 为常数， $k > 0 ， a > 0 ， a \neq 1$ ），则牛奶储藏在 $33 ℃$ 环境下的保鲜时间为（）

A、 $12 h$ B、 $16 h$ C、 $18 h$ D、 $24 h$

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11. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 2^{x} - 1 | ， x < 2 ， \\ \frac{3}{x - 1} ， x \geq 2 \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + (1 - a) f (x) - a = 0$ 恰有两个不同实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $[1 ， 3)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $[1 ， 3]$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x \in R ， f (x) - f^{'} (x) < 0$ 恒成立，其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则不等式 $e^{x} f (x + 1) > e^{4} f (2 x - 3)$ 的解集为（）

A、 $(4 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 4)$ C、 $(- \infty ， 3)$ D、 $(- \infty ， 4)$

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二、填空题

13. 若函数 $f (x) = x \cos x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (0) =$ .

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14. 若定义在R上的函数 $f (x)$ 满足：①对于任意的 $x ， y \in R$ ，都有 $f (x y) = - f (x) f (y)$ ；② $f (x)$ 为奇函数.则函数 $f (x)$ 的一个解析式可以是.

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15. 已知 $f (x)$ 为定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的偶函数，且在 $[- 1 ， 0]$ 上单调递减，则满足不等式 $f (a) < f (2 a - 1)$ 的 $a$ 的取值范围是.（用区间表示）

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16. 已知f(x)是R上以3为周期的奇函数，则有以下结论：
① $f (- 3) = 0$ ；

② $f (1) = f (2)$ ；

③ $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{3}{2} ， 0)$ 对称；

④ $f (\frac{15}{2}) = 0$

其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题

17. 已知 $p ：$ 函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x + 1$ 有零点； $q ： \forall x \in (- \infty ， 2] ， x^{2} - 2 x - a + 4 > 0$ .

(1)、若 $q$ 为真，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 为真， $p \land q$ 为假，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知集合 $A = {x | (x - 2) (x - 3 a - 1) < 0} ， B = {x | (x - 2 a) (x - a^{2} - 1) < 0}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、当 $a = 1$ 时，判定 $A$ 与 $B$ 之间的关系；

(3)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x > - 2$ 时，求证： $f (x) > \ln (x + 2)$ .

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20. 2021年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并日出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形垫依饮艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.在日常防护中，口罩是必不可少的防护用品.某口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模.已知该厂生产口罩的固定成本为200每生产x万箱，需另投入成本 $p (x)$ 万元，当年产量不足90万箱时， $p (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x$ ；当年产量不低于90时， $p (x) = 100 x + 8 \ln x + \frac{760}{x} - 2180$ ，若每万箱口罩售价100通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当年可以全部销售完.

(1)、求年利润 $y$ （万元）关于年产量 $x$ （万箱）的函数关系式；

(2)、求年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大.（注： $\ln 95 \approx 4.55$ ）

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21. 已知函数 $f (x) = \ln (e^{2 x} + 1) + a x (a \in R)$ 为偶函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = e^{f (x) + x} + m e^{x}$ ，是否存在实数 $m$ ，使得函数 $g (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最小值为 $1 - 4 e^{2}$ ？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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22. 对于函数 $f (x)$ ，若 $f (x_{0}) = x_{0} ，$ 则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的不动点.设 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 3$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，
(i)求 $f (x)$ 的极值点；

(ii)若存在 $x_{0}$ 既是 $f (x)$ 的极值点，也是 $f (x)$ 的不动点，求 $b$ 的值.

(2)、判断是否存在实数 $a ， b$ ，使得 $f (x)$ 有两个极值点，且这两个极值点均为 $f (x)$ 的不动点？判断并说明理由.

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