湖北省黄冈市2021-2022学年高三上学期数学9月调研考试试卷

试卷更新日期：2021-10-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $A = {3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $B = {x | 2 \leq x < 6}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${2 ， 3 ， 4}$ B、 ${3 ， 4 ， 5}$ C、 ${2，3，4，5}$ D、 ${3 ， 4 ， 5 ， 6}$

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2. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $\vec{a} = (1 ， \sqrt{2})$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{21}$ B、21 C、3 D、9

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3. 已知圆锥的母线长为 $3 \sqrt{2}$ ，其侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的底面面积是（）

A、π B、2π C、3π D、4π

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} | x |}{4^{x} + 1}$ ，则函数 $y = f (x)$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，A，B是抛物线上两点，且 $| \vec{A F} | = 2 | \vec{B F} |$ ，且 $A B$ 中点到准线的距离为3，则线段 $A F$ 的中点到准线的距离为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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6. P为双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 左支上任意一点， $E F$ 为圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 的任意一条直径，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、9

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7. 已知 $a = 4 \ln 5^{π}$ ， $b = 5 \ln 4^{π}$ ， $c = 5 \ln π^{4}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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8. 普林斯顿大学的康威教授发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”，该数列的后一项由前一项的外观产生．以1为首项的“外观数列”记作 $A_{1}$ ，其中 $A_{1}$ 为1，11，21，1211，111221，…，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，…，按照相同的规则可得 $A_{1}$ 其它项，例如 $A_{3}$ 为3，13，1113，3113，132113，…若 $A_{i}$ 的第n项记作 $a_{n}$ ， $A_{j}$ 的第n项记作 $b_{n}$ ，其中i， $j \in [2 ， 9]$ ，若 $c_{n} = | a_{n} - b_{n} |$ ，则 ${c_{n}}$ 的前n项和为（）

A、 $2 n | i - j |$ B、 $n (i + j)$ C、 $n | i - j |$ D、 $\frac{1}{2} | i - j |$

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二、多选题

9. 设实数满足a，b满足 $2^{a} < 2^{b} < 1$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $\ln | a | > \ln | b |$ C、 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$ D、 $a + b + 2 \sqrt{a b} < 0$

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10. 将函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{2 π}{3}) + 1$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则以下说法正确的是（）

A、函数 $y = g (x)$ 在 $[- 4 ， 4]$ 在内只有2个零点 B、 $g (x - \frac{π}{2}) = - g (x)$ C、函数 $y = g (x)$ 的图象关于 $(- \frac{π}{6} ， 1)$ 对称 D、 $g (\frac{π}{6}) \geq g (x)$ 恒成立

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A A_{1} ， C C_{1}$ 的中点，过直线 $E F$ 的平面分别与棱 $B B_{1} ， D D_{1}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，设 $B M = x ， x \in [0 ， 1]$ ，以下说法中正确的是（）

A、平面 $M E N F ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ B、四边形 $M E N F$ 的面积最小值为1 C、四边形 $M E N F$ 周长的取值范围是 $[4 ， 4 \sqrt{2}]$ D、四棱锥 $C_{1} - M E N F$ 的体积为定值

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12. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点， $M_{n} ， N_{n}$ 是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = n^{2}$ 上两个不同的动点， $P_{n}$ 是 $M_{n} N_{n}$ 的中点，且满足 $\vec{O M_{n}} \cdot \vec{O N_{n}} + 2 {\vec{O P_{n}}}^{2} = 0 (n \in N^{*})$ ．设 $M_{n} ， N_{n}$ 到直线 $l ： \sqrt{3} x + y + n^{2} + n = 0$ 的距离之和的最大值为 $a_{n}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、向量 ${\vec{O M}}_{n}$ 与向量 ${\vec{O N}}_{n}$ 所成角为 $120 °$ B、 $| \vec{O P_{n}} | = n$ C、 $a_{n} = n^{2} + 2 n$ D、若 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n + 2}$ ，则数列 ${\frac{2^{b_{n}}}{(2^{b_{n}} - 1) (2^{b_{n} + 1} - 1)}}$ 的前n项和为 $1 - \frac{1}{2^{n + 1} - 1}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = (e^{x} + m \cdot e^{- x}) \cdot \sin x$ 是偶函数，则 $m =$ ．

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14. 曲线 $y = l n x - \frac{2}{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为 $α$ ，则 $s i n (α + \frac{π}{2}) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{\cos x} + \frac{16}{2 - \cos x} (0 < x < \frac{π}{2})$ ，则 $f (x)$ 的最小值为．

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16. 已知 $m > 0$ ，若存在实数 $x \in [1 ， + \infty)$ 使不等式 $m \cdot 2^{m x + 1} - \log_{\sqrt{2}} x \leq 0$ 成立，则m的最大值为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \sin^{2} x + 3$ ．

(1)、若角 $α$ 的顶点在坐标原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆（圆心为坐标原点O）交于点 $P (- \frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ ，求 $f (α)$ 的值；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域．

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18. 在① $\sqrt{3} (a - c \cos B) = b \sin C$ ；② $\frac{\sin A - \sin C}{b} = \frac{\sin A - \sin B}{a + c}$ ；③ $b \cos (C - \frac{π}{6}) = c \sin B$ ．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：
在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件___________（填写所选条件的序号）．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求角C；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $16 \sqrt{3}$ ，D为 $A C$ 的中点，求 $B D$ 的最小值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，若 $2 S_{n} = (n + 1) a_{n}$ ，且 $a_{1} > 1 ， a_{2} - 1 ， a_{4} - 2 ， a_{6}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{4}{a_{n} a_{n + 1}} + 2^{- a_{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{4}{3}$ ．

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20. 已知函数 $f (x)$ ，对 $\forall x ， y \in R$ ，都有 $f (x + y) - f (y) - x^{2} - 2 x y + 3 x = 0$ 恒成立，且 $f (2) = - 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $h (x) = \frac{f (x)}{x} ， G (x) = h (| 2^{x} - 1 |) + \frac{2 m}{| 2^{x} - 1 |} - 5 m$ ，有三个零点，求 $m$ 的取值范围．

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21. 如图，平面四边形 $O A B C$ 中， $O A = O B = O C = 1$ ，对角线 $A C ， O B$ 相交于 $M$ ．

(1)、设 $\vec{A M} = λ \vec{A C} (0 < λ < 1)$ ，且 $\vec{O M} = t \vec{O B} (0 < t < 1)$ ，
（ⅰ）用向量 $\vec{O A} ， \vec{O B}$ 表示向量 $\vec{O C}$ ；

（ⅱ）若 $∠ B O A = \frac{π}{3}$ ，记 $λ = f (t)$ ，求 $f (t)$ 的解析式．

(2)、在（ⅱ）的条件下，记△ $A M B$ ，△ $C M O$ 的面积分别为 $S_{△ A M B}$ ， $S_{△ C M O}$ ，求 $\frac{S_{△ A M B}}{S_{△ C M O}}$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 1 ， a \in R$ ，函数 $g (x) = e^{x} - 2 x + \sin x$ ．

(1)、求函数 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、记 $F (x) = g (x) - f (x)$ ，对任意的 $x \geq 0$ ， $F (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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