河北省邢台市2022届高三上学期数学9月第二次联合考试试卷

试卷更新日期：2021-10-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {1 ， 2}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$ ，则图中阴影部分所表示的集合中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 已知不等式 $x^{2} - 5 x + a < 0$ 的解集是 ${x | 2 < x < b}$ ，则实数 $a =$ （）

A、-14 B、-3 C、3 D、6

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2) ， \vec{b} = (3 ， - 2) ， \vec{c} = (t ， 2 - t)$ ，若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) / / \vec{c}$ ，则 $t =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. “ $x < 1$ ”是“ $\frac{2}{x + 1} > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 下图是某校10个班的一次统考数学成绩的平均分，则其平均分的中位数是（）

A、100.13 B、101.43 C、102.73 D、104.45

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6. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布N（3，4），若 $P (ξ > 2 c + 1) = P (ξ < 2 c - 1)$ ，则c的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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7. 如图，在四边形ABCD中， $A D = C D = 2$ ， $∠ A D C = ∠ B C D = 120 °$ ， $A D ⊥ A B$ ，则 $A B =$ （）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、8 C、 $3 \sqrt{3}$ D、6

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8. 8个人排成两排，每排4人，则甲、乙不同排的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{5}{18}$ D、 $\frac{2}{7}$

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9. 已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增， $f (3) = 0$ ，则关于x的不等式 $\frac{f (x + 2) + f (- x - 2)}{x} > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 5 ， - 2) \cup (0 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 5) \cup (0 ， 1)$ C、 $(- 3 ， 0) \cup (3 ， + \infty)$ D、 $(- 5 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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10. 若函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 b x^{2}$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 有最小值，则实数 $b$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}]$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{4}]$ C、 $(- \infty ， - 1]$ D、 $(- \infty ， - \frac{2}{3}]$

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二、多选题

11. 若复数z满足 $i z = - 2 + i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则（）

A、z的实部是2 B、z的虚部是 $2 i$ C、 $\bar{z} = 1 - 2 i$ D、 $| z | = \sqrt{5}$

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12. $(x - 1) {(x + 1)}^{5}$ 的展开式中（）

A、常数项为1 B、 $x^{2}$ 的系数为 $- 5$ C、 $x^{3}$ 的系数为0 D、各项的系数之和为零

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13. 已知函数 $f (x) = \ln x^{2} - 2 \ln (x^{2} + 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 为偶函数 B、函数 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty ， - 1]$ C、当 $x > 0$ 时，函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的增区间为 $(- \infty ， - 1) ， (0 ， 1)$

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14. 设函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 内有且仅有2个零点，则下列结论成立的有（）

A、函数 $y = f (x) + 1$ 在 $(0 ， 2 π)$ 内没有零点 B、 $y = f (x) - 1$ 在 $(0 ， 2 π)$ 内有且仅有1个零点 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{2 π}{3})$ 上单调递增 D、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{5}{8} ， \frac{9}{8})$

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三、填空题

15. 函数 $y = 2 - 2 \sin^{2} x - \cos x$ 的值域为.

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16. 从3名男生、2名女生中选出2人参加数学竞赛，则选出的这2人性别不一样的概率为.

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17. 正实数a，b，c满足 $4 a^{2} - a b + b^{2} - c = 0$ ，当 $\frac{a b}{c}$ 取最大值时， $\frac{3}{a} + \frac{2}{b} - \frac{6}{c}$ 的最大值为.

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18. 若 $x^{2} > \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题

19. 已知 $0 < α < β < \frac{π}{2} ， \sin α = \frac{4}{5} ， \cos (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求 $\sin β ， \cos β$ 的值；

(2)、求 $\cos (α - β)$ 的值．

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20. 在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c， $b \sin C + c \sin B = 2 b \sin B + 2 c \sin C - 2 a \sin A$ .

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3} b^{2}}{12 \sin B}$ ， $a = 4$ ，求c.

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21. 已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 满足 $f (x) = g (x) + 2 \times 3^{- x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $φ (x) = 2 f (x) + g (x) - a$ 有且仅有两个零点，求实数a的取值范围；

(3)、若 $(m - 1) f (x) + g (x) ⩽ m - 2$ 在R上恒成立，求实数m的取值范围.

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22. 已知有五个大小相同的小球，其中3个红色，2个黑色.现在对五个小球随机编为1，2，3，4，5号，红色小球的编号之和为A，黑色小球的编号之和为B，记随机变量 $X = | A - B |$ .

(1)、求 $X = 3$ 时的概率；

(2)、求随机变量X的概率分布列及数学期望.

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23. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - \ln (x + 3) + \ln a$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{3}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) ⩾ 3$ ，求实数a的取值范围.

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