河北省沧州市普通高中2022届高三上学期数学9月教学质量监测试卷

试卷更新日期：2021-10-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {- 5 ， - 2 ， 0 ， 3}$ ， $N = {x | x^{2} + 2 x - 8 < 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${- 5 ， - 2}$ B、 ${- 2 ， 0}$ C、 ${0 ， 3}$ D、 ${- 2 ， 3}$

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2. 已知复数 $z$ 在复平面内对应的点的坐标为 $(2 ， - 1)$ ，则 $| z - i | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、8

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3. 某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高 $X$ （单位： $cm$ ）的情况，得出 $X \sim N (100 ， 10^{2})$ ，随机测量一株水稻，其株高在 $(110 ， 120)$ （单位： $cm$ ）范围内的概率为（）
（附：若随机变量 $X \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ）

A、0.0456 B、0.1359 C、0.2718 D、0.3174

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4. 若实数 $a ， b$ 满足 $a^{2} < a b < a$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\sqrt{b + 1} < \sqrt{a + 1}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{a} < {(\frac{1}{2})}^{b}$ D、 $0 < b - a < 1$

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5. 如图，已知 $A B$ ， $C D$ 分别是圆柱上､下底面圆的直径，且 $A B ⊥ C D$ ，若该圆柱的侧面积是其上底面面积的 $2 \sqrt{3}$ 倍，则 $A B$ 与平面 $B C D$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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6. 已知直线 $l_{1}$ ： $x - y + 2 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x - y - 2 = 0$ 与圆 $E$ ： $x^{2} - a x + y^{2} - 2 y + b = 0$ 分别交于点 $A$ ， $B$ 与 $C$ ， $D$ ，若四边形 $A B C D$ 是正方形，则 $a + b =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

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7. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 2 A C = 6$ ， $P$ ， $Q$ 分别是 $B C$ 的三等分点，若 $\vec{A C} \cdot \vec{A P} = - 3$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A Q} =$ （）

A、01 B、2 C、3 D、6

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x + 1)$ 是偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则满足 $f (2 x) > f (x + 2)$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{2}{3})$ D、 $(- \infty ， - \frac{2}{3}) \cup (2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知一组数据为-1，1，4，4，2，8，则该组数据的（）

A、众数是4 B、平均数是3 C、第50百分位数是2 D、方差是9

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10. 已知 ${(x - \frac{2}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中各项的二项式系数之和为16，则展开式中（）

A、各项的系数之和为-1 B、存在常数项-32 C、各项的系数中最大的是24 D、含 $x$ 的无理项有三项

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11. 已知直线 $l ： x = t y + 2$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 交于 $A ， B$ 两点，若线段 $A B$ 的中点是 $M (m ， 2)$ ，则（）

A、 $t = \frac{1}{2}$ B、 $m = 3$ C、 $| A B | = 8$ D、点 $(- 2 ， 2)$ 在以 $A B$ 为直径的圆内

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12. 已知函数 $f (x) = {(\sin x + \cos x)}^{2}$ ，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $\forall x_{1} \in [0 ， \frac{7 π}{12}]$ ，总 $\exists x_{2} \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，使 $f (x_{1}) + g (x_{2}) = 2$ ，则 $φ$ 可以为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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三、填空题

13. 已知正项等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} a_{2} = 3$ ， $a_{2} a_{3} = 15$ ，则 $a_{5} =$ .

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14. 已知直线 $y = a x + b$ 与曲线 $y = a \ln x + 2$ 相切，则 $a b$ 的最大值为.

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15. 如图，已知平面四边形 $A B C D$ 中，△ $A B D$ 是边长为2的正三角形， $B C ⊥ C D$ ，以 $B D$ 为棱折成直二面角 $A - B D - C$ ，若折叠后 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点在同一球面上，则该球的体积为.

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16. 已知 $F$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点， $O$ 为坐标原点，点 $A$ 是以 $O F$ 为直径的圆与双曲线 $C$ 的一个公共点.若点 $F$ 关于点 $A$ 的对称点也在双曲线 $C$ 上，则双曲线 $C$ 的渐近线的斜率为.

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四、解答题

17. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{n} = - \frac{n^{2} + 3 n}{2}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = 2^{a_{2 n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 上一点， $A D = 3$ ，且 $\sin ∠ A D B = \sqrt{3} \sin B$ .

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、若 $A D ⊥ A C$ ， $B C = 3 B D$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ ， $A D // B C$ ， $A B ⊥ A P$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A P = B C = \sqrt{2} A B = 2 A D$ .

(1)、证明： $P B ⊥ A C$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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20. 某校组织一次篮球定点投篮比赛，有A，B两处场地，每人每处最多投2次.在A处每投进一球得2分，投不进得0分；在B处每投进一球得3分，投不进得0分.若先在A处投，在A处只要有一次投不进就停止投篮，两次都投进才能在B处投，在B处两次都可投；若先在B处投，连续两次都未投进，则停止投篮，否则继续在A处投完两次.已知同学甲在A处的命中率为0.8，在B处的命中率为0.5，每次投篮的结果相互独立.

(1)、若同学甲先在A处投，记X为同学甲的投篮总得分，求X的分布列与数学期望；

(2)、试判断同学甲先在 $A$ 处投还是先在B处投能使投篮总得分超过6分的概率更大一些.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $A (\frac{\sqrt{2}}{2} a ， 1)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点（不同于点 $A$ ），记直线 $P A$ ， $Q A$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，试判断是否存在定值 $k$ ，使当 $m$ 变化时 $k_{1} k_{2} = \frac{1}{4}$ 总成立？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x$ ， $a > 0$ .

(1)、若 $a = 1$ ，若 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $\sqrt{x_{1} x_{2}} > a e$ .

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