广西桂林市普通2021-2022学年高二10上学期理数月月考试卷

试卷更新日期：2021-10-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若 $\tan α = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α}$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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2. 计算 $\cos 420^{\circ}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 已知按规律排列的数列 $1 ， 2 ， 2 ， 3 ， 3 ， 3 ， 4 ， 4 ， 4 ， 4 ， ... ， n$ ，则该数列的第72项为（）

A、45 B、44 C、12 D、14

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4. 已知在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{50} a_{401} = \frac{2}{15}$ ，求 $a_{102} a_{349}$ 的值（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{4}{15}$

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5. 已知实数 $a ， b > 0 ， a + b = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、27 B、3 C、8 D、9

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6. 若 $a = 3^{0.5} ， b = 2^{0.6} ， c = \ln 10$ ，则三者大小关系为（）

A、 $c > b > a$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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7. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列，从 ${a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ... ， a_{10}}$ 中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（）

A、40 B、10 C、22 D、11

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8. 首项为1，公比为2的等比数列的前6项和为（）

A、62 B、63 C、66 D、68

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9. 若 $a ， b > 0 ， a + b = 2$ ，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（）

A、 $a b \geq 1$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \geq 2$ C、 $\sqrt{6 a b + 3} + 2 a b \leq 5$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b} \leq 6$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ ､ ${b_{n}}$ 的通项公式满足 $3 a_{n + 1} = a_{n} ， a_{1} = 1 ，$ $b_{n + 1} = 2 b_{n} ， b_{1} = 1 ，$ 则 $a_{5} b_{5}$ 为（）

A、 $\frac{16}{81}$ B、 $\frac{8}{9}$ C、 $\frac{6}{81}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足首项是1， $a_{n + 1} - a_{n} = n$ ，则 $a_{21} =$ （）

A、202 B、200 C、205 D、211.

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12. 设 $a ， b ， c > 0 ，$ 且不等式 $\frac{1}{2 a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{2 c} - \frac{t}{a + b + c} \geq 0$ 恒成立，则实数t的最大值为（）

A、13 B、6 C、8 D、62.

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二、填空题

13. 若 $x ， y > 0$ ， $x + 2 y = 4$ ，则 $\frac{2 (1 + x) (1 + 2 y)}{x y}$ 的最小值为.

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14. 记 $S_{n}$ 为等差数列{a_n}的前n项和.若 $a_{1} \neq 0 ， a_{2} = 6 a_{1}$ ，则 $\frac{S_{10}}{S_{5}} =$ .

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15. 不等式 $a x^{2} - 40 x + 10 a \geq 190 - 20 x^{2}$ 对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x} ， x \in [- 3 ， 1) \\ - | x^{2} - 1 | + \frac{3}{2} ， x \in [1 ， 3] \end{matrix}$ ，函数 $g (x) = m$ ，若 $f (x) = g (x)$ $， x \in [- 3 ， 3]$ 恰有两个零点，则 $m$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{2} = 2 ， 3 a_{n + 1} = 4 a_{n} - a_{n - 1}$ ，

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{1} = b_{2} = 1 ， n > 2$ ， $b_{n} = \frac{1}{n (\frac{7}{2} - a_{n + 1}) (\frac{7}{2} - a_{n})}$ ，求证： $\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{b_{i}}{i} < 2.$

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18. 已知a>0，b>0.

(1)、若 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b} = 1$ ，求证：a+b≥16；

(2)、求证： $a + b + 1 \geq \sqrt{a b} + \sqrt{a} + \sqrt{b}$ .

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19. 已知三个实数a､b､c成等差数列且它们的和为27，又a+5､b+3､c+2成等比数列，求出这三个实数a､b､c.

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20. 如图所示，已知一条直线上两点 $A_{1} (0 ， 1) ， A_{2} (12 ， 4)$ ，一个二次函数 $y = {(x - 2)}^{2} + t ， t \leq 0$ 与该直线交点为M，N

(1)、若等比数列 ${b_{n}}$ 的前两项 $b_{1} ， b_{2}$ 是点列 $A_{1} ， A_{2}$ 的纵坐标，则该数列的2120项是多少？

(2)、点 $M ， N$ 的横坐标与纵坐标分别记为 $x_{1} ， x_{2} ， y_{1} ， y_{2}$ ，试问： $x_{1} + x_{2} + y_{1} + y_{2}$ 是否为定值，若是，求出定值.

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21. A为广西南宁市职工，A工作第一年月平均收入4000元，假如A把第一个月的工资的 $\frac{1}{4}$ 用来到P､Q公园景区旅游，到P公园景区的门票全为50元一张，游览m次对P公园景区的陌生程度记作 $\frac{1}{m}$ ，到Q公园景区的门票全为100元一张，游览n次对Q公园景区的陌生程度记作 $\frac{8}{n}$ ，为使得陌生程度数值之和最小的，怎么买票？

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22. 已知函数 $f (x) = | x - \frac{1}{2} | + | x + \frac{1}{2} |$ ，M为不等式 $f (x) < 2$ 的解集.
（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）证明：当a，b $\in M$ 时， $| a + b | < | 1 + a b |$ .

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