广西桂林市2022届高三上学期文数10月教学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-10-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (\cos θ ， \sin θ)$ ， $θ \in [0 ， π]$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} ， - 1)$ .若 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | < m$ 恒成立，则实数 $m$ 的范围是（）

A、 $[4 ， + \infty)$ B、 $(4 ， + \infty)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(4 ， 10)$

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2. 已知奇函数 $f (x)$ 在R上是增函数， $g (x) = x f (x)$ .若 $a = g (- \log_{2} 0.5)$ ， $b = g (2^{0.8})$ ， $c = g (3)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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3. 函数 $y = x^{\frac{4}{3}}$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知 $x ， y \in R$ ，则“x+y=1”是“ $x y \leq \frac{1}{4}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $Δ A B C$ 中，满足 $b = 2 ， B = 60 °$ 的三角形有两解，则边长 $a$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} < a < 2$ B、 $\frac{1}{2} < a < 2$ C、 $2 < a < \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $2 < a < 2 \sqrt{3}$

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6. 若 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - a^{2} - 7 a$ 在x=1处取得极大值10，则 $\frac{b}{a}$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ 或 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ 或 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = e^{| x |} + \cos x$ ，若 $f (2 x - 1) \geq f (1)$ ，则 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 0] \cup [1 ， + \infty)$ B、 $[0 ， 1]$ C、 $(- \infty ， 0]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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8. 已知 $0 < a < b < 1 ， p = a^{b} ， q = b^{a} ， r = {log}_{b} a$ ，则 $p ， q ， r$ 的大小关系是（）

A、 $p < q < r$ B、 $p < r < q$ C、 $r < p < q$ D、 $q < p < r$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - e^{- x} ， x \leq 0 \\ \sqrt{2 x} ， x > 0 \end{array}$ ， $| f (x) | \geq a x$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $(- \infty ， - 1]$ C、 $[- 2 ， 0]$ D、 $[- 1 ， 0]$

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10. 设函数 $y = f (x)$ 在区间 $D$ 上的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x)$ 在区间 $D$ 上的导函数为 $g (x)$ .若在区间 $D$ 上， $g (x) < 0$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在区间 $D$ 上为“凸函数”.已知实数 $m$ 是常数， $f (x) = \frac{x^{4}}{12} - \frac{m x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{2}$ .若对满足 $| m | \leq 2$ 的任何一个实数 $m$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $(a ， b)$ 上都为“凸函数”，则 $b - a$ 的最大为（）

A、3 B、2 C、1 D、-1

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11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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12. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）

A、 $f (x) = \frac{| x |}{x}$ B、 $f (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ C、 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}}$ D、 $f (x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{| x + 3 | + | 4 - x |}$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = 2 \sin ω x$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6}]$ 上的最小值为-2，则 $ω$ 的取值范围为.

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14. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a \cos B - b \cos A = \frac{1}{2} c$ ，当 $\tan (A - B)$ 取最大值时，角 $C$ 的值为

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15. 已知 $x 、 y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 1 \\ x - y \geq - 1 \\ 2 x - y \leq 2 \end{array}$ ，若目标函数 $z = a x + b y (a > 0 ， b > 0)$ 的最大值为7，则 $\frac{3}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为．

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16. 下面有四个命题：①函数 $y = \sin^{4} x - \cos^{4} x$ 的最小正周期是 $π$ .②函数 $f (x) = 3 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象关于直线 $x = \frac{11}{12} π$ 对称；③在同一坐标系中，函数 $y = \sin x$ 的图象和函数 $y = x$ 的图象有三个公共点.④把函数 $y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 得到 $y = 3 \sin 2 x$ 的图象.其中真命题的序号是（写出所有真命题的编号）

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三、解答题

17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sin A + \sqrt{3} \cos A = 0$ ， $a = 2 \sqrt{7}$ ，b=2.

(1)、求c；

(2)、设D为BC边上一点，且 $A D ⊥ A C$ ，求△ABD的面积.

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18. 已知命题 $P$ ： $\forall x \in [1 ， 2]$ ， $x^{2} - a \geq 0$ ；命题 $Q$ ： $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} + (a - 1) x_{0} + 1 < 0$ .若“ $P$ 或 $Q$ ”为真，“ $P$ 且 $Q$ ”为假，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \ln x + a (1 - \frac{1}{x}) ， a \in R$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，试求 $f (x)$ 最小值；

(2)、若 $\forall x \geq 1$ 都有 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知命题 $P$ ：函数 $y = \log_{a} (1 - 2 x)$ 在定义域上单调递增；命题 $Q$ ：不等式 $(a - 2) x^{2} + 2 (a - 2) x - 4 < 0$ 对任意实数 $x$ 恒成立；若 $P \lor Q$ 是真命题， $P \land Q$ 是假命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + \ln x}{x}$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(a ， a + \frac{1}{3})$ (其中 $a > 0$ )上存在极值，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、如果当 $x \geq 1$ 时，不等式 $f (x) \geq \frac{m}{x + 1}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 已知 $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0)$ ，动点 $M$ 满足 $∠ A M B = 2 θ ， | \vec{A M} | \cdot | \vec{B M} | \cdot \cos^{2} θ = 3$ ，设 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、过 $A$ 的直线 $l_{1}$ 与曲线 $C$ 交于 $E$ 、 $F$ 两点，过 $B$ 与 $l_{1}$ 平行的直线 $l_{2}$ 与曲线 $C$ 交于 $G$ 、 $H$ 两点，求四边形 $E F G H$ 的面积的最大值．

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