福建省泉州市2022届高三数学8月份质检试卷（一）

试卷更新日期：2021-10-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=（）

A、{1，2} B、{2} C、∅ D、{1，2，3}

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2. 在复平面内，复数 $z$ 的对应点为 $(1 ， - 1)$ ，则 $z^{2} =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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3. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，设甲： $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上单调递增，乙： $f (x)$ 满足 $f (1) < f (2)$ ，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰•韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“韦恩图”．韦恩用图1中的四块区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分别表示下列四个集合： $A \cap B$ ， $A \cap (∁_{U} B)$ ， $(∁_{U} A) \cap B$ ， $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$ ，则图2中的阴影部分表示的集合为（）

A、 $A \cap B \cap C$ B、 $(∁_{U} A) \cap B \cap C$ C、 $A \cap (∁_{U} B) \cap C$ D、 $A \cap B \cap (∁_{U} C)$

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5. 若 $\frac{5π}{4} < θ < \frac{3 π}{2}$ ，且 $\sin 2 θ = \frac{4}{5}$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x - 1} - 1 ， x \leq 1 \\ \log_{2} x ， x > 1 \end{array}$ ，则函数 $y = f (1 - x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知两个正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x^{2} - y = \ln y - \ln x$ ，则下列式子中一定不成立的是（）

A、 $x < y < 1$ B、 $y < x < 1$ C、 $1 < x < y$ D、 $x = y = 1$

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8. 已知 $△ A B C$ 与 $△ A C D$ 所在的平面互相垂直， $A C = 25$ ， $A B = A D = 20$ ， $C B = C D = 15$ ，则直线 $A D$ 与 $B C$ 所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{7}{24}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $\frac{12}{25}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = \sqrt{3} + i$ （ $i$ 为虚数单位），则（）

A、 $| z | = 2$ B、 $\bar{z} = \sqrt{3} - i$ C、 $z \cdot \bar{z} = 2$ D、 $\frac{\bar{z}}{z} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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10. 已知向量 $\vec{a}$ ＝（1， $\sqrt{3}$ ）， $\vec{b}$ ＝（λ，1），若（ $\vec{a}$ ﹣4 $\vec{b}$ ）• $\vec{a}$ ＝4，则（）

A、 $λ = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $| \vec{b} | = 2$ C、 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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11. 已知 $1 \leq a \leq 5$ ， $a + b = 8$ ，则（）

A、 $- 6 \leq a - b \leq 2$ B、 $7 \leq a b \leq 15$ C、 $32 \leq a^{2} + b^{2} \leq 50$ D、 $2^{a} + 8^{b}$ 的最小值为128

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12. 已知点 $D (\frac{3}{2} ， 1)$ ，直线 $l$ ： $2 k x - 2 y - k + 2 = 0$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x = 1$ ，过点 $P (0 ， - 2)$ 分别作圆 $C$ 的两条切线 $P A$ ， $P B$ （ $A$ ， $B$ 为切点）， $H$ 在 $△ A B C$ 的外接圆上．则（）

A、直线 $A B$ 的方程是 $x + 2 y - 1 = 0$ B、 $l$ 被圆 $C$ 截得的最短弦的长为 $\sqrt{3}$ C、四边形PACB的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $D H$ 的取值范围为 $[\frac{\sqrt{5}}{2} ， \frac{3 \sqrt{5}}{2}]$

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三、填空题

13. 若棱长为1的正方体的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为．

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14. 过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 6 x$ 的焦点的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A B | = 9$ ，则线段 $A B$ 中点的横坐标为．

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15. 已知 ${(x + m)}^{5} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{5} {(x - 1)}^{5} (m \in R)$ ，若 ${(a_{0} + a_{2} + a_{4})}^{2} - {(a_{1} + a_{3} + a_{5})}^{2} = 3^{5}$ ，则 $m =$ 或．

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16. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 2)$ 为偶函数， $f (x^{3} + 1)$ 为奇函数，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = a x + b$ ．若 $f (4) = 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{100} [k \cdot f (k + \frac{1}{2})] =$ ．

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四、解答题

17. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $a = 4 \sqrt{2}$ ， $b = 5$ ， $c = 7$ ．

(1)、求 $\cos A$ 的值；

(2)、若点 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $B D = 3 C D$ ，求 $A D$ ．

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18. 公差为2的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 成等比数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， n \leq 10 \\ b_{n - 5} ， n > 10 \end{array}$ ，求， ${b_{n}}$ 的前20项和．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ B A D = 45 °$ ，且 $A D = B D = P D = 1$ ．

(1)、求证： $P A ⊥ P C$ ；

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值．

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20. 加强儿童青少年近视防控，促进儿童青少年视力健康是中央关心、群众关切、社会关注的“光明工程”．为了解青少年的视力与学习成绩间的关系，对某地区今年初中毕业生的视力和中考成绩进行调查．借助视力表测量视力情况，测量值5.0及以上为正常视力，5.0以下为近视．现从中随机抽取40名学生的视力测量值和中考成绩数据，得到视力的频率分布直方图如图：

其中，近视的学生中成绩优秀与成绩一般的人数比例为 $1 ： 2$ ，成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为 $3 ： 4$ ．

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635

(1)、根据频率分布直方图的数据，将下面的

2 \times 2

列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关；

学习成绩视力情况	视力正常	近视	合计
成绩优秀
成绩一般
合计

(2)、将频率视为概率，从该地区今年初中毕业生中随机抽取3人，设近视的学生数为

X

，求

X

的分布列与期望．

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21. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A (0 ， - \sqrt{3})$ ，直线 $A F_{2}$ 的倾斜角为60°，原点 $O$ 到直线 $A F_{2}$ 的距离是 $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过 $E$ 上任一点 $P$ 作直线 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ 分别交 $E$ 于 $M$ ， $N$ （异于 $P$ 的两点），且 $\vec{F_{1} M} = m \vec{P F_{1}}$ ， $\vec{F_{2} N} = n \vec{P F_{2}}$ ，探究 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x + 1}{a x}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 ${(e x_{1})}^{x_{2}} = {(e x_{2})}^{x_{1}}$ （ $e$ 是自然对数的底数），且 $x_{1} > 0$ ， $x_{2} > 0$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，证明： $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 2$ ．

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