云南省罗平县第二重点中学2021-2022学年高二上学期数学9月月考试卷

试卷更新日期：2021-10-11 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1. 已知直线 $l$ 经过点 $A (1 ， 3)$ ， $B (5 ， 7)$ ，则 $l$ 的倾斜角为（）

A、30° B、45° C、60° D、135°

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2. 已知全集 A={x∈Z|-1≤x≤3} ，B={x|0＜x＜3}，A∩B ( )

A、{x|0＜x＜3} B、{-1，0，1，2，3} C、{-1，0，3} D、{1，2}

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3. 已知复数z满足 $(1 + i) z = 4$ ，则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 要得到函数 $y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象，只需将函数 $y = 3 \sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位

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5. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 13 = 0$ 的圆心到直线x+y-1=0的距离为（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、3 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{11 \sqrt{2}}{2}$

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6. 过点 $A (- 6 ， 2)$ ， $B (2 ， - 2)$ 且圆心在直线x-y+1=0上的圆的方程是（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ B、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5$

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7. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在R上是奇函数，也是增函数 B、函数 $f (x)$ 在R上是奇函数，也是减函数 C、函数 $f (x)$ 在R上是偶函数，也是增函数 D、函数 $f (x)$ 在R上是偶函数，也是减函数

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8. “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC．若 $\vec{A E} = λ \vec{A D}$ ，则λ的值为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{16}{9}$ D、 $\frac{9}{16}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9. 已知直线 $l_{1} ： x + m y - 1 = 0$ ， $l_{2} ： (m - 2) x + 3 y + 3 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $m = - 1$ 或 $m = 3$ B、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $m = 3$ C、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 D、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $m = \frac{1}{2}$

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10. 过点（2，2）斜率为k的直线与圆x²+y²-4x =0的位置关系可能是( )

A、相离 B、相切 C、相交但不过圆心 D、相交且经过圆心

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11. 若P是圆 x²+y²=4 上任一点，则点P到直线x+y=3 $\sqrt{2}$ 的距离可以为( )

A、2 B、4 C、6 D、8

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12. 如图A(2，0)，B(1，1)，C(-1，1)，D(-2，0)， $\hat{C D}$ 是以OD为直径的圆上一段圆弧， $\hat{C B}$ 是以BC为直径的圆上一段圆弧， $\hat{B A}$ 是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段圆弧构成曲线W，则以下叙述正确的是（）

A、曲线W与x轴围成的面积等于2π B、曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点) C、 $\hat{C B}$ 所在圆的方程为：x²+（y-1）²=1 D、 $\hat{C B}$ 与 $\hat{B A}$ 的公切线方程为：x+y=2

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. $\log_{3} \frac{1}{4} + \log_{3} 12$ 的值为．

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14. 已知点 $A (- 6 ， 2)$ ， $B (2 ， - 2)$ ，则以线段AB为直径的圆的标准方程为．

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15. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0$ 相外切，则实数m= ．

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16. 某同学在研究函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 1} + | x - 1 |$ 的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为 $f (x) = \sqrt{{(x - 0)}^{2} + {(0 - 1)}^{2}} + \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$ ，求得 $f (x)$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．

17. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别是 $A (1 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ， $C (4 ， 4)$ ．

(1)、写出BC边所在直线方程，并化为一般式；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关，某学校有800名学生，为了解学生对民法典的认识程度，选取了100名学生进行测试，制成如图所示频率分布直方图.

(1)、求m的值；

(2)、估计抽查学生测试成绩的中位数；（结果用分数形式表示）

(3)、如果抽查的测试平均分超过75分，就表示该学校通过测试，试判断该校能否通过测试.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $\cos 2 C + 3 \cos C - 1 = 0$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若b=3a， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3} \sin A \sin B$ ，求边c的值．

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20. 过点 $P (t ， 1)$ （其中 $t \neq 0$ ）作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线l，切点分别为M，N．

(1)、若t=2，求切线 $l$ 的方程；

(2)、若 $∠ M P N = 60^{\circ}$ ，求点P的坐标．

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 $A B C D$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D$ ， $∠ B A D = ∠ A B C = 90^{\circ}$ ，E，M分别是PD，PC的中点．

(1)、证明：直线 $C M / /$ 平面PAB；

(2)、求二面角 $N - A B - D$ 的余弦值．

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22. 已知点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，动点M与点A的距离是它与点B的距离的 $\sqrt{2}$ 倍，设动点M的轨迹为曲线M．

(1)、求曲线M的方程；

(2)、过点 $P (2 ， 2)$ 的直线l与曲线M交于C，D两点，若P是线段CD的中点，求线段CD的长．

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