高中数学人教A版（2019）选修一第三章圆锥曲线的方程

试卷更新日期：2021-10-09 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 椭圆 $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\pm 1, 0)$ B、 $(0, \pm 1)$ C、 $(\pm \sqrt{7}, 0)$ D、 $(0, \pm \sqrt{7})$

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2. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一条弦所在的直线方程是 $x - y + 5 = 0 ，$ 弦的中点坐标是 $M (- 4 ， 1) ，$ 则椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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3. 双曲线 $m x^{2} - 4 y^{2} = 12$ 的一条渐近线的方程为 $\sqrt{3} x - 2 y = 0$ ，则 $m =$ （）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、16

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4. 焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（）

A、y²=-4x B、y²=4x C、x²=-4y D、x²=4y

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5. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P是C的右支上一点，连接 $P F_{1}$ 与y轴交于点M，若 $| F_{1} O | = 2 | O M |$ （O为坐标原点）， $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 3 x$ B、 $y = \pm \sqrt{5} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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6. 已知直线 $3 x - y + 6 = 0$ 经过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点F₁ ，且与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为N，F₂是椭圆的右焦点，且|MN|=|MF₂|，则椭圆的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{40} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{10} + y^{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{6} = 1$

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7. 已知方程 $\frac{x^{2}}{10 - t} + \frac{y^{2}}{t - 4} = 1$ 表示的曲线是焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $t$ 的取值范围（）

A、 $(4 ， 7)$ B、 $(4 ， 7) \cup (7 ， 10)$ C、 $(7 ， 10)$ D、 $(4 ， 10)$

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8. 将离心率为 $e_{1}$ 的双曲线 $C_{1}$ 的实半轴长 $a$ 和虚半轴长 $b (a \neq b)$ 同时增加 $m (m > 0)$ 个单位长度，得到离心率为 $e_{2}$ 的双曲线 $C_{2}$ ，则（）

A、对任意的， B、当时，；当 $a < b$ 时， C、对任意的， D、当时，；当 $a < b$ 时，

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二、多选题

9. 关于双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 下列说法正确的是（）

A、它们的实轴长相等 B、它们的渐近线相同 C、它们的离心率相等 D、它们的焦距相等

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10. 已知椭圆 $C$ ： $16 x^{2} + 25 y^{2} = 400$ ，关于椭圆 $C$ 下述正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的长轴长为 $10$ B、椭圆 $C$ 的两个焦点分别为 $(0 ， - 3)$ 和 $(0 ， 3)$ C、椭圆 $C$ 的离心率等于 $\frac{3}{5}$ D、若过椭圆 $C$ 的焦点且与长轴垂直的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P ， Q$ ，则 $| P Q | = \frac{32}{5}$

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11. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，右顶点为 $A$ ，以 $A$ 为圆心， $b$ 为半径作圆 $A$ ，圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $∠ M A N = 60 °$ ，则有（）

A、渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $e = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $e = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$

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12. 如图， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点， $Q$ 是圆 $F_{2}$ ： ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 36$ 上一动点，线段 $F_{1} Q$ 的垂直平分线与直线 $Q F_{2}$ 的交点 $P$ 恰好在双曲线 $C$ 上，则下列结论正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{5}{3}$ C、焦点 $F_{2}$ 到双曲线 $C$ 的渐近线距离为4 D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆圆心的横坐标为3或 $- 3$

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三、填空题

13. 已知点 $F$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $A (2, y_{1})$ ， $B (\frac{1}{2}, y_{2})$ 分别是抛物线上位于第一､四象限的点，若 $| A F | = 20$ ，则 $| y_{1} - y_{2} | =$ .

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14. 已知双曲线 $C_{1} ：$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} － \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，其中 $F_{2}$ 也是抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 在一象限的公共点为 $P$ ，若直线 $P F_{1}$ 斜率为 $\frac{3}{4}$ ，则双曲线离心率 $e (e > 2)$ 为．

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15. $F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的右焦点， $P$ 是椭圆上的动点， $A (1 ， \sqrt{3})$ 为定点，则 $| P A | + | P F_{1} |$ 的最小值为.

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16. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，动弦 $A B$ 过左焦点 $F_{1}$ .若 $| \overset{⇀}{F_{2} A} - \overset{⇀}{F_{2} B} | \geq | \overset{⇀}{F_{2} A} + \overset{⇀}{F_{2} B} |$ 恒成立，则椭圆 $E$ 的离心率的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知抛物线 $y^{2} = - x$ 与直线 $y = k (x + 1)$ 相交于 $A ， B$ 两点.

(1)、求证： $O A ⊥ O B$ ；

(2)、当S _△OAB = $\sqrt{10}$ 时，求 $k$ 的值.

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18. 已知椭圆 $x^{2} + 4 y^{2} = 4$ ，直线 $l ： y = x + m$ .

(1)、若 $l$ 与椭圆有一个公共点，求 $m$ 的值；

(2)、若 $l$ 与椭圆相交于 $P ， Q$ 两点，且 $| P Q |$ 等于椭圆的短轴长，求 $m$ 的值.

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19. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ， $P (x_{0} ， y_{0}) (y_{0} > 0)$ 为抛物线上一点， $Q$ 为 $P$ 关于 $x$ 轴对称的点， $O$ 为坐标原点.

(1)、若 $Δ P O Q$ 的面积为2，求点 $P$ 的坐标；

(2)、若过满足（1）中的点 $P$ 作直线交 $P A ， P B$ 抛物线 $C$ 于 $A ， B$ 两点，且斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = 4$ ，求证：直线 $A B$ 过定点，并求出该定点坐标.

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20. 已知过点 $A (- 4 ， 0)$ 的动直线 $l$ 与抛物线 $G$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 相交于 $B ， C$ 两点．当直线 $l$ 的斜率是 $\frac{1}{2}$ 时， $\vec{A C} = 4 \vec{A B}$ .

(1)、求抛物线 $G$ 的方程；

(2)、设线段 $B C$ 的中垂线在 $y$ 轴上的截距为 $b$ ，求 $b$ 的取值范围．

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21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）上的点P到左、右两焦点F₁ ， F₂的距离之和为2 $\sqrt{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、是否存在同时满足①②两个条件的直线l？
①过点M（0， $\frac{1}{3}$ ）；
②存在椭圆上与右焦点F₂共线的两点A、B，且A、B关于直线l对称．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，连接椭圆 $C$ 的四个顶点所形成的四边形面积为 $4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若椭圆 $C$ 上点 $N$ 到定点 $M (m ， 0)$ （ $0 < m < 2$ ）的距离的最小值为1，求 $m$ 的值及点 $N$ 的坐标；

(3)、如图，过椭圆 $C$ 的下顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆 $C$ 于点 $M$ ， $N$ ，设直线 $A M$ 的斜率为 $k$ ，直线 $l$ ： $y = \frac{k^{2} - 1}{k} x$ 分别与直线 $A M$ ， $A N$ 交于点 $P$ ， $Q$ ．记 $Δ A M N$ ， $Δ A P Q$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，是否存在直线 $l$ ，使得 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{64}{65}$ ？若存在，求出所有直线 $l$ 的方程；若不存在，说明理由．

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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