广西玉林市育才2022届高三上学期开学检测考试数学（理）试题

试卷更新日期：2021-10-09 类型：开学考试

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一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x$ ，则f′（1）＝（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $- \sqrt{3}$ D、﹣1

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2. 已知函数f（x）=e^2x+1﹣3x，则f′（0）=（　　）

A、0 B、﹣2 C、2e﹣3 D、e﹣3

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3. 定积分 $\int_{0}^{\frac{3 π}{2}}$ sinxdx＝（）

A、2 B、1 C、0 D、﹣1

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4. 已知集合A＝{x|x²﹣2x﹣3＜0，x∈N*}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）

A、{﹣1，0，1，2} B、{0，1，2} C、{1，2} D、{1，2，3}

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5. 下列比较大小正确的是（）

A、1＜0.5^﹣²＜0.5^﹣³ B、0.5^﹣²＜1＜0.5^﹣³ C、0.5^﹣³＜1＜0.5^﹣² D、0.5^﹣²＜0.5^﹣³＜1

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6. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为（）

A、60万元 B、160万元 C、200万元 D、240万元

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7. 复数 $\frac{2 - i}{1 - 3 i}$ 在复平面内对应点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A、60种 B、120种 C、240种 D、480种

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9. 若f（x）＝ ${\begin{matrix} 3^{x} ， x \in [- 1 ， 0) \\ - {(\frac{1}{3})}^{x} ， x \in [0 ， 1] \end{matrix}$ ，则f[f（log₃2）]的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、﹣2

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10. 现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）

A、5⁶ B、6⁵ C、 $\frac{5 \times 6 \times 5 \times 4 \times \times 2}{2}$ D、6×5×4×3×2

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11. $(x + \frac{y^{2}}{x}) {(x + y)}^{5}$ 的展开式中x³y³的系数为（）

A、5 B、10 C、15 D、20

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12. 某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ²），则下列结论中不正确的是（）

A、σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大 B、σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C、σ越小，该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等 D、σ越小，该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等

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二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知幂函数y＝x^α的图象过点 $(2 ， \sqrt{2})$ ，则实数α的值是．

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14. 函数 $y = \sqrt{7 + 6 x - x^{2}}$ 的定义域是.

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15. 函数 $y = \sin x$ ， $y = \cos x$ 与y轴在第一象限内所围成平面图形的面积为.

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16. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX＝．

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三、解答题（共6小题，共70分）

17. 设全集为R ，不等式 $\frac{x + 3}{x - 7} \leq 0$ 的解集为A ，不等式|x﹣4|＜6的解集为B ．

(1)、求A∪B；

(2)、求∁_R（A∩B）．

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18. 已知函数f（x）＝x³﹣3ax+2，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为
3x+y+m＝0．

（Ⅰ）求实数a ， m的值；

（Ⅱ）求f（x）在区间[1，2]上的最值．

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19. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

	一级品	二级品	合计
甲机床	150	50	200
乙机床	120	80	200
合计	270	130	400

附：K²＝ $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

(1)、甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)、能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

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20. 某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
（Ⅰ）抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布；

（Ⅱ）他能过关的概率．

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21. 设数列{a_n}满足a₁＝3，a_n₊₁＝3a_n﹣4n ．

(1)、计算a₂ ， a₃ ，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；

(2)、求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n ．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{2 \sqrt{5}}{5} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{5}}{5} t \end{matrix}$ （t为参数），曲线C的极坐标方程为ρcos²θ＝8sinθ．

(1)、求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；

(2)、若直线l与曲线C的交点分别为M ， N ，求|MN|．

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