河北省石家庄市辛集市2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 用长为1cm，2cm，3cm的三条线段围成三角形的事件是（　　）

A、随机事件 B、必然事件 C、不可能事件 D、以上说法都不对

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2. 若函数 $y = m x^{m^{2} - 5}$ 是反比例函数，且它的图象在第一、三象限，则m的值为（）

A、2 B、﹣2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $- \sqrt{6}$

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3. 如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）

A、a＝ $\sqrt{2}$ b B、a＝2b C、a＝2 $\sqrt{2}$ b D、a＝4b

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4. 如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）

A、∠C＝∠AED B、∠B＝∠D C、 $\frac{A B}{A D} = \frac{B C}{D E}$ D、 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $D A = D C$ ，若 $∠ C B E = 55 °$ ，则 $∠ D A C$ 的度数为（）

A、 $70 °$ B、 $67.5 °$ C、 $62.5 °$ D、 $65 °$

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6. 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是 ( )

A、6π B、4π C、8π D、4

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7. 在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有（）

A、11 B、13 C、24 D、30

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8. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 x - k - 2 = 0$ 没有实数解，则函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象大致是图中的（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知 $(- 1 ， y_{1})$ ， $(2 ， y_{2})$ ， $(3 ， y_{3})$ 在二次函数 $y = - x^{2} + 4 x + c$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系正确的是 $($ $)$

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$

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10. 2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请 $n$ 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请 $n$ 个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（）

A、 ${(1 + n)}^{2} = 931$ B、 $n (n - 1) = 931$ C、 $1 + n + n^{2} = 931$ D、 $n + n^{2} = 931$

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11. 如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，若⊙O的直径为4，则弦AB长为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 已知抛物线y=﹣x²﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、2

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13. 如图，从渔船 $A$ 处测得灯塔 $M$ 在北偏东55°方向上，这艘渔船以 $28 k m / h$ 的速度向正东方向航行，半小时后到达 $B$ 处，在 $B$ 处测得灯塔 $M$ 在北偏东20°方向上，此时灯塔 $M$ 与渔船的距离（）

A、 $28 k m$ B、 $14 k m$ C、 $7 \sqrt{2} k m$ D、 $14 \sqrt{2} k m$

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14. 如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm、1cm，若将正方形AEFG绕点A旋转，则在旋转过程中，点C、F之间的最小距离为（）cm

A、3 B、2 $\sqrt{2}$ C、4 $\sqrt{2}$ －1 D、3 $\sqrt{2}$

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15. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y= $\frac{6}{x}$ （x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）

A、y=﹣ $\frac{6}{x}$ B、y=﹣ $\frac{4}{x}$ C、y=﹣ $\frac{2}{x}$ D、y= $\frac{2}{x}$

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16. 我们定义一种新函数：形如 $y ＝ | a x^{2} + b x + c |$ （a≠0，b²﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x²﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4，

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

17. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x - 1 = 0$ 的一个解是 $x = 1$ ，则 $2021 - a - b =$ .

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18. 如图，在反比例函数 $y = \frac{10}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象上，有点 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 、 $P_{3}$ 、 $P_{4}$ ，它们的横坐标依次为2，4，6，8……分别过这些点作 $x$ 轴与 $y$ 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ …，则点 $P_{1}$ 的坐标为，阴影部分的面积和 $S_{1} + S_{2} + S_{3}$ 为．

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19. 曲线 $L$ 在直角坐标系中的位置如图所示，曲线 $L$ 是由半径为2，圆心角为 $120 °$ 的 $\hat{O A}$ （ $O$ 是坐标原点，点 $A$ 在 $x$ 轴上）绕点 $A$ 旋转 $180 °$ ，得到 $\hat{A A_{1}}$ ；再将 $\hat{A A_{1}}$ 绕点 $A_{1}$ 旋转 $180 °$ ，得到 $\hat{A_{1} A_{2}}$ ；……依次类推，形成曲线 $L$ ，现有一点 $P$ 从 $O$ 点出发，以每秒 $π$ 个单位长度的速度，沿曲线 $L$ 向右运动，则点 $A$ 的坐标为；在第 $2020 s$ 时，点 $P$ 的坐标为．

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三、解答题

20. 解方程：

(1)、 ${(2 x - 1)}^{2} = {(2 - x)}^{2}$ ；

(2)、 $x^{2} - \sqrt{2} x - \frac{1}{4} = 0$ ．

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21. 某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件，如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？

(1)、设提价了 $x$ 元，则这种衬衫的售价为元，销售量为件.

(2)、列方程完成本题的解答.

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22. 如图，已知一次函数 $y = k x + b$ 的图像与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图像交于点 $A (3 ， n)$ 和点 $B (n + \frac{1}{2} ， 2)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ .

(1)、反比例函数的表达式；一次函数的表达式.

(2)、若在 $x$ 轴上有一点 $D$ ，其横坐标是1，连接 $A D ， C D$ ，求 $△ A C D$ 的面积.

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23. “五一”期间甲乙两商场搞促销活动，甲商场的方案是：在一个不透明的箱子里放4个完全相同的小球，球上分别标“0元”“20元”“30元”“50元”，顾客每消费满300元就可从箱子里不放回地摸出2个球，根据两个小球所标金额之和可获相应价格的礼品；乙商场的方案是：在一个不透明的箱子里放2个完全相同的小球，球上分别标“5元”“30元”，顾客每消费满100元，就可从箱子里有放回地摸出1个球，根据小球所标金额可获相应价格的礼品.某顾客准备消费300元.

(1)、请用画树状图或列表法，求出该顾客在甲商场获得礼品的总价值不低于50元的概率；

(2)、判断该顾客去哪个商场消费使获得礼品的总价值不低于50元机会更大？并说明理由.

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24. 探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在 $△ A B C$ 中，点 $O$ 在线段 $B C$ 上， $∠ B A O = 30 °$ ， $∠ O A C = 75 °$ ， $A O = 3 \sqrt{3}$ ， $B O ： C O = 1 ： 3$ ，求 $A B$ 的长．

经过社团成员讨论发现，过点 $B$ 作 $B D // A C$ ，交 $A O$ 的延长线于点 $D$ ，连结 $B D$ ，如图②所示，通过构造 $△ A B D$ 就可以解决问题．

(1)、请你写出求 $A B$ 长的过程．

(2)、应用：如图③，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C ⊥ A D$ ， $∠ A B C = ∠ A C B = 75 °$ ， $B O ： O D = 1 ： 3$ ．若 $A O = 3 \sqrt{3}$ ，请你求出 $A B$ 的长．

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25. 如图，抛物线 $C_{1}$ ： $y = x^{2} - 2 x$ 与抛物线 $C_{2}$ ： $y = a x^{2} + b x$ 开口大小相同、方向相反，它们相交于 $O$ ， $C$ 两点，且分别与 $x$ 轴的正半轴交于点 $B$ ，点 $A$ ， $O A = 2 O B$ ．

(1)、求抛物线 $C_{2}$ 的解析式；

(2)、在抛物线 $C_{2}$ 的对称轴上是否存在点 $P$ ，使 $P A + P C$ 的值最小？若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，说明理由；

(3)、 $M$ 是直线 $O C$ 上方抛物线 $C_{2}$ 上的一个动点，连接 $M O$ ， $M C$ ， $M$ 运动到什么位置时， $△ M O C$ 面积最大？并求出最大面积．

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ C A B = 30 °$ ， $A C = 8$ ，半径为2的 $⊙ O$ 从点 $A$ 开始（如图1）沿直线 $A B$ 向右滚动，滚动时始终与直线 $A B$ 相切（切点为 $D$ ），当 $⊙ O$ 与 $△ A B C$ 只有一个公共点时滚动停止，作 $O G ⊥ A C$ 于点 $G$ ．

(1)、图1中， $⊙ O$ 在 $A C$ 边上截得的弦长 $A E =$ ；

(2)、当圆心落在 $A C$ 上时，如图2，判断 $B C$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由．

(3)、在 $⊙ O$ 滚动过程中，线段 $O G$ 的长度随之变化，设 $A D = x$ ， $O G = y$ ，求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并直接写出 $x$ 的取值范围．

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