河北省承德市平泉市2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 方程x²﹣x＝0的解为（）

A、x₁＝x₂＝1 B、x₁＝x₂＝0 C、x₁＝0，x₂＝1 D、x₁＝1，x₂＝﹣1

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2. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点P（－2，4），则这个函数的图象位于（）

A、一、三象限 B、二、三象限 C、三、四象限 D、二、四象限

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3. 下列四个图形中，不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若x₁ ， x₂是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的两根，则x₁+x₂的值是（）

A、－3 B、－4 C、3 D、4

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5. 如图， $⊙ O$ 经过正方形ABCD的顶点A ，分别与AB ， AC相交于点E ， F ，则∠EOF的度数为（）

A、45° B、80° C、90° D、100°

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6. 学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ≠0）化成 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 5$ 化成 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式如下：

两位同学做法正确的是（）

A、甲正确，乙不正确 B、甲不正确，乙正确 C、甲、乙都正确 D、甲、乙都不正确

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7. 如图，∠ABC=20°，将△ABC绕点B顺时针旋转130°得到△EBF ．若点A ， F ， E在同一条直线上，则∠AFB的度数是（）

A、35° B、40° C、45° D、50°

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8. 如图，一个简易量角器放在∠BAC上面，则∠BAC的度数是（）

A、10° B、20° C、40° D、80°

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9. 如图，将边长为2的正六边形铁丝框变形为以B为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），所得扇形ABC（阴影部分）的面积是（）

A、4 B、8 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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10. 若关于x的一元二次方程x²+bx+c=0的两个根分别为x₁=－1，x₂=2，那么抛物线y=x²+bx+c的对称轴为直线（）

A、x=－1 B、x=2 C、 $x = \frac{1}{2}$ D、 $x = - \frac{1}{2}$

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11. 如图是抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2} + k$ 的部分图象，其顶点为M ，与y轴交于点（0，3），与x轴的一个交点为A ，连接MO ， MA．以下结论：

①常数 $k = 3$ ；②抛物线经过点（－2，3）；③ $S_{△ O M A} = 4$ ；④当 $x = - 3 + \frac{2019}{2020}$ 时， $y > 0$ ．

其中正确的是（）

A、①③ B、②③ C、②④ D、①④

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12. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - (t - 1) x + t - 2 = 0$ ，对于任意实数，下列说法正确的是（）

A、方程有两个不相等的实数根 B、方程有两个相等的实数根 C、方程有两个实数根 D、方程没有实数根

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13. 如图，平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上任意一点，B（－3，0），C（4，0），则当点A在y轴上运动时，△ABC的外心不可能在（）

A、第三象限 B、第一象限 C、第四象限 D、x轴上

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14. 如图，根据下列尺规作图痕迹，其中表示点O是△ABC外心的是（）

A、 B、 C、 D、

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15. 如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O ．若∠AOB是某正n边形的一个外角，则n的值为（）

A、16 B、12 C、10 D、8

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16. 如图，抛物线G： $y = a {(x - 2)}^{2} - \frac{4}{3}$ （常数a为正数）．下列关于G的四个命题：

①G的最低点坐标为 $(2 ， - \frac{4}{3})$ ；②b是任意实数，x=2+b时的函数值大于x=2－b时的函数值；③当a=1时，G经过点（1，－1）；④当G经过原点时，G与x轴围成的封闭区域（边界除外）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为1．

其中正确的是（）

A、①③ B、②③ C、②④ D、①④

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二、填空题

17. 抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 1$ 的对称轴是直线．

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18. 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．

示例：即4+3=7．则

(1)、用含x的式子表示m＝；

(2)、当y＝–4时，n的值为．

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19. 如图，平面直角坐标系中， $⊙ P$ 经过点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点P关于x轴的对称点是P₁ ，点D是 $⊙ P$ 上的一点．

(1)、∠ADB=°；

(2)、当点D到弦OB的距离最大时，直线DP₁与x轴的交点坐标为．

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三、解答题

20. 已知：整式 $A = {(x - 1)}^{2}$ ，整式 $B = 4 x$ ，整式 $C = x^{2} - 7$ ．

(1)、求A+B的值；

(2)、分解因式：A+B；

(3)、若 $C - B = 0$ ，求x的值．

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21. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转 $α$ （ $0 ° < α < 180 °$ ）得到△ADE ，连接BD、CE相交于点F．

(1)、求证 $△ A B D ≅ △ A C E$ ；

(2)、若 $α = 80 °$ ，求∠ACE的度数；

(3)、若四边形ABFE为菱形，直接写出 $α$ 的值．

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22. 某校举办“中国梦，我的梦”演讲比赛，10位评按如下方案来确定每名选手的最后得分（满分10分）：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数，按照评分方案对某名选手的演讲成绩进行了统计，绘制成如图所示的不完整的统计图：

(1)、补全统计图并计算这名选手的最后得分；

(2)、对名列前20名的选手的成绩m进行分组统计，绘制成如图的统计图表：

各得分组人数统计表

组号	分组	人数
一	6≤m<7	2
二	7≤m<8	7
三	8≤m<9	a
四	9≤m<10	2

①第三组中的a＝ ▲ ，求第三组所占扇形统计图的圆心角的度数；

②将第一组内的两名选手记为A₁ ， A₂ ，第四组内的两名选手记为B₁ ， B₂ ，从第一组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈，求选出的两人中恰好既有第一组又有第四组选手的概率（用画树状图法或列表法列出所有可能结果）．

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23. 如图，曲线BC是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $(2 \leq x \leq 4)$ 的一部分，其中B（2，2-m），C（4，-m），抛物线 $y = - x^{2} + 2 b x$ 的顶点记作A．

(1)、求k的值；

(2)、甲同学说，点A可以与点B重合；而乙同学说，点A也可以与点C重合，甲、乙的说法对吗？请说明理由．

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24. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD=8，BC=DE ， ∠B=∠D=30°．边AD与边BC交于点P（不与点B ， C重合），点B ， E在AD异侧．I是△APC的内心．

(1)、求证：∠ACB=∠AED；

(2)、设AP=x ，请用含x的式子表示PD ，并求PD的最大值；

(3)、当∠BAC=100°时∠AIC的取值范围是m°<∠AIC<n°，分别直接写出m ， n的值．

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25. 如图，在 $⊙ O$ 中， $O A = 2 ， A B = 2 \sqrt{3}$ ，将弦AB与 $\overset{⌢}{A B}$ 所围成的弓形（包括边界的阴影部分）绕点B顺时针旋转 $α (0 ° \leq α \leq 360 °)$ ，点A的对应点为 $A'$ ．

(1)、点O到线段AB的距离是； $∠ A O B =$ °；当点O落在阴影部分（包括边界）时， $α$ 的取值范围是；

(2)、若线段 $A' B$ 与优弧ACB的交点为D ，当 $∠ A' B A = 90 °$ 时，点DAO的延长线上（填“在”或“不在”）；

(3)、当直线 $A' B$ 与 $⊙ O$ 相切时，求 $α$ 的值并求此时点 $A'$ 运动路径的长度．

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26. 如图，已知点O（0，0），A（1，2），抛物线 $l ： y = - {(x - h)}^{2} + 2$ （h为常数）与y轴的交点为B．

(1)、 $l$ 经过点A ，求它的解析式，并写出此时 $l$ 的对称轴及顶点坐标；

(2)、设点B的纵坐标为 $y_{B}$ ，求 $y_{B}$ 的最大值，此时 $l$ 上有两点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，其中 $x_{1} > x_{2} \geq 0$ ，比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小．

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