河北省承德市承德县2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图，下列角中为俯角的是（）

A、∠1 B、∠2 C、∠3 D、∠4

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2. 若反比例函数 $y = \frac{k + 1}{x}$ （ $k$ 是常数）的图象在第一、三象限，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < 0$ B、 $k > 0$ C、 $k < - 1$ D、 $k > - 1$

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3. 如图中的几何体是由一个正方体切去一个小正方体后形成的，该几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 用配方法将二次函数 $y = x^{2} - 2 x$ 化为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式为（）

A、 $y = - {(x - 1)}^{2} + 1$ B、 $y = {(x + 1)}^{2} - 1$ C、 $y = {(x + 1)}^{2} + 1$ D、 $y = {(x - 1)}^{2} - 1$

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5. 去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x（单位：千克）及方差S²（单位：千克²）如下表所示：

甲

乙

丙

丁

x

24

24

23

20

S²

2.1

1.9

2

1.9

今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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6. 如图，若 $Δ A B C$ 与 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是位似图形，则位似中心的坐标是（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(1 ， 0)$ C、 $(0 ， - 1)$ D、 $(0 ， 1)$

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7. 某口罩加工厂 $2020$ 年一月份口罩产值达 $50$ 万元，第一季度总产值达 $175$ 万元，若第二、三月份的月平均增长率为x，则由题意可列方程为（）

A、 $50 {(1 + x)}^{2} = 175$ B、 $50 {(1 + x)}^{2} = 175$ C、 $50 (1 + x) + 50 {(1 + x)}^{2} = 175$ D、 $50 + 50 (1 + x) + 50 {(1 + x)}^{2} = 175$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 上一点，若 $A C^{2} = A D \cdot A B$ ，则（）

A、 $△ A D C$ ～ $△ C B D$ B、 $△ B D C$ ～ $△ B C A$ C、 $△ A D C$ ～ $△ A C B$ D、无法判断

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9. 如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ ∶ 3 B、 $\sqrt{2}$ ∶1 C、 $\sqrt{2}$ ∶ $\sqrt{3}$ D、1∶ $\sqrt{3}$

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10. 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（h）与行驶速度 $v$ （km/h）满足函数关系 $t =$ 点 $(k > 0)$ ，其图象为如图所示的一段双曲线，端点为 $A (40 ， 1)$ 和 $B (m ， 0.5)$ ，若行驶速度不得超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要（）

A、 $\frac{2}{3}$ 分钟 B、40分钟 C、60分钟 D、 $\frac{200}{3}$ 分钟

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11. 已知点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBC＝28°，则∠A的度数为（）

A、28° B、52° C、56° D、62°

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12. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（）

A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B、抛一枚硬币，出现正面的概率 C、任意写一个整数，它能被3整除的概率 D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，中线 $B E$ ， $C D$ 相交于点 $O$ ，连接 $D E$ ，给出下列结论∶① $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{2}$ ；② $\frac{S_{△ D O E}}{S_{△ C O B}} = \frac{1}{2}$ ；③ $\frac{A D}{A B} = \frac{O E}{O B}$ ；④ $\frac{S_{△ C O E}}{S_{△ A D C}} = \frac{1}{3}$ ；⑤ $\frac{S_{△ B D O}}{S_{△ B C O}} = \frac{2}{3}$ ．其中错误的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14. 如图，已知 $\overset{⌢}{A B}$ 的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，将 $\overset{⌢}{A B}$ 绕点A逆时针旋转90°后得到 $\overset{⌢}{A B'}$ ，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ π B、 $\sqrt{5}$ π C、2 $\sqrt{5}$ π D、2π

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15. 如图， $∠ M O N = 30 °$ 点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ，…在射线 $O N$ 上，点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ，…在射线 $O M$ 上， $△ A_{1} B_{1} A_{2}$ ， $△ A_{2} B_{2} A_{3}$ ， $△ A_{3} B_{3} A_{4}$ ，…均为等边三角形，若 $O A_{1} = 1$ ，则边 $B_{6} B_{7}$ 的长为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、 $12 \sqrt{3}$ C、 $32 \sqrt{3}$ D、 $64 \sqrt{3}$

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16. 在数学活动课上，王老师出示一道数学题目：“在平面直角坐标系 $x o y$ 中，当 $c$ 为何值时，抛物线 $L ： y = - x (x - 4) + c$ 与直线段 $l ： y = x + 3 (0 \leq x \leq 4)$ 有唯一公共点或有两个公共点？”某学习小组经探究得到以下四个结论：
①当 $c = \frac{3}{4}$ 时，有唯一公共点；②若 $c$ 为整数，则仅当 $c$ 的值为4或5或6或7时，才有唯一公共点；③若 $c$ 为整数，则当 $c$ 的值为1或2或3时，有两个公共点；④当 $3 < c < 7$ 时，有两个公共点．其中正确的结论有（）

A、①②④ B、①②③ C、①③ D、①④

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二、填空题

17. 已知关于x的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} - 2 x + a^{2} - 1 = 0$ 有一个根为 $x = 0$ ，则a的值为．

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18. 已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 中函数y与自变量x之间部分对应值如下表所示，点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2}) ，$ 在函数图象上

x

…

0

1

2

3

…

y

…

m

n

3

n

…

则表格中的m＝；当 $- 1 < x_{1} < 0 ， 3 < x_{2} < 4$ 时， $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的大小关系为．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $B C = 3$ ．点 $D$ 是 $A B$ 上一动点，以 $D C$ 为斜边向右侧作等腰直角三角形 $C D E$ ，使 $∠ C E D = 90 °$ ，连接 $B E$ ．

(1)、若点 $E$ 恰好落在 $A B$ 上，则 $A D$ 的值为；

(2)、线段 $B E$ 的最小值为．

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三、解答题

20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程为 $m x^{2} - n x + 1 = 0$ ．

(1)、当 $n = m + 2$ 时，不解方程，判断方程根的情况；

(2)、在（1）的条件下，若 $m = 2$ ，求解这个方程．

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21. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°．

(1)、求证：△ABD∽△DCE；

(2)、若△ABC的边长为9，BD=3，求CE的长．

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22. 钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，尽量呆在家，勤洗手，多运动，多看书，少熬夜．”重庆实验外国语学校为鼓励学生抗疫期间在家阅读，组织八年级全体同学参加了疫期居家海量读书活动，随机抽查了部分同学读书本数的情况统计如图所示．

(1)、本次共抽查学生 ▲ 人，并将条形统计图补充完整；

(2)、读书本数的众数是本，中位数是本．

(3)、在八年级2000名学生中，读书15本及以上（含15本）的学生估计有多少人？

(4)、在八年级六班共有50名学生，其中读书达到25本的有两位男生和两位女生，老师要从这四位同学中随机邀请两位同学分享读书心得，试通过画树状图或列表的方法求恰好是两位男生分享心得的概率．

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23. 如图，平面直角坐标系中，一次函数 $y_{1} = a x + b$ （ $a \neq 0$ ）的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ）的图象交于点 $A (1 ， 2)$ 和 $B (- 2 ， m)$ .

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、请直接写出 $y_{1} > y_{2}$ 时x的取值范围；

(3)、过点B作 $B E // x$ 轴， $A D ⊥ B E$ 于点D，点C是直线 $B E$ 上一点，若 $A D = 3 C D$ ，求点C的坐标.

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24. 小强洗漱时的侧面示意图如图所示，洗漱台（矩形 $A B C D$ ）靠墙摆放，高 $A D = 80$ cm，宽 $A B = 48$ cm，小强身高166cm，下半身 $F G = 100$ cm，洗漱时身体前倾，下半身与地面的夹角 $∠ F G K = 80 °$ ，上半身与下半身所成夹角 $∠ E F G = 125 °$ ，脚与洗漱台距离 $G C = 15$ cm，点 $D$ ， $C$ ， $G$ ， $K$ 在同一直线上．

(1)、求此时小强腰部点 $F$ 到墙 $A D$ 的距离．

(2)、此时小强头部点 $E$ 是否恰好在洗漱盆 $A B$ 的中点 $O$ 的正上方？若是，请说明理由；若不是，则他应向前还是向后移动多少厘米，使头部点 $E$ 恰好在洗漱盆 $A B$ 的中点 $O$ 的正上方？（计算过程及结果的长度均精确到1cm．参考数据； $\sin 80 ° \approx 0.98$ ， $\cos 80 ° \approx 0.17$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）

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25. 某公司经过市场调查，发现某种运动服的销量与售价是一次函数关系，具体信息如表：

售价(元/件)

200

210

220

230

……

月销量（件)

200

180

160

140

……

已知该运动服的进价为每件150元.

(1)、售价为x元，月销量为y件.
①求y关于x的函数关系式：

②若销售该运动服的月利润为w元，求w关于x的函数关系式，并求月利润最大时的售价；

(2)、由于运动服进价降低了a元，商家决定回馈顾客，打折销售，这时月销量与调整后的售价仍满足（1）中函数关系式.结果发现，此时月利润最大时的售价比调整前月利润最大时的售价低15元，则a的值是多少？

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26. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 20$ ， $A D = 8$ ， $A D ⊥ A B$ ， $D C ⊥ B C$ ， $\sin B = \frac{4}{5}$ ， $P$ 是 $A D$ 上一点，以点 $P$ 为圆心的圆切 $B C$ 于点 $T$ ，分别交 $A B$ ， $A D$ 的延长线于点 $M$ ， $N$ ，设 $A P = x$ ．

(1)、当 $x = 0$ 时，求扇形 $P M N$ 的面积；

(2)、求 $B C$ 的长；

(3)、若 $⊙ P$ 上的点到点 $A$ ， $D$ 的距离均不小于 $8 \frac{2}{5}$ ，求 $x$ 的取值范围．

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售价(元/件)	200	210	220	230	……
月销量（件)	200	180	160	140	……

	甲	乙	丙	丁
x	24	24	23	20
S²	2.1	1.9	2	1.9

x	…	0	1	2	3	…
y	…	m	n	3	n	…