河北省保定市安新县2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 图书馆的标志是浓缩图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y = - {(x - 1)}^{2} + 2$ 的顶点坐标是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(1, - 2)$ D、 $(- 1, - 2)$

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3. 已知： $⊙ O$ 的半径为2， $O A = 3$ ，则正确的图形可能为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 解一元二次方程 $x (x + 1) = x + 1$ 的过程中，变形正确的为（）

A、 $x = 1$ B、 $(x + 1) (x - 1) = 0$ C、 ${(x - 1)}^{2} = 0$ D、 ${(x + 1)}^{2} = 0$

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5. 如图，直线 $a //b// c$ ，直线 $m$ ， $n$ 与这三条平行线分别交于点 $A$ ， $B$ ， $C$ 和点 $D$ ， $E$ ， $F$ ．若 $A B ： B C = 2 ： 3$ ， $D F = 10$ ，则 $E F =$ （）

A、4 B、4.5 C、6 D、5

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6. 如图， $⊙ O$ 的半径为3，弦 $A B = 4$ ， $O C ⊥ A B$ 于点 $C$ ，则 $O C =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、5

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7. 投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数作为 $m$ 的值，则“函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 2 x + m$ 的图象与 $x$ 轴有公共点”这一事件为（）

A、随机事件 B、必然事件 C、不可能事件 D、无法确定是什么事件

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8. 如图，在 $⊙ O$ 中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在 $⊙ O$ 上， $∠ 1 + ∠ 2 = 70 °$ ，则 $∠ O =$ （）

A、110° B、120° C、130° D、140°

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9. 已知反比例函数 $y = - \frac{3}{x}$ ，则下列说法正确的为（）

A、 $y$ 随 $x$ 的增大而增大 B、图象分别位于一、三象限 C、图象经过点 $(- 1 ， - 3)$ D、若图象经过点 $(a ， - 2)$ ， $(b ， - 3)$ ，则 $a > b$

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10. 如图1，图2，根据图中所标注的数据，能够推得三角形①与②相似的是（）

A、都相似 B、都不相似 C、只有图1相似 D、只有图2相似

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11. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $106 °$ ，得到 $△ A B_{1} C_{1}$ ，若点 $C_{1}$ 在线段 $C B$ 的延长线上，则 $∠ C C_{1} B_{1}$ 的大小为（）

A、 $37 °$ B、 $69 °$ C、 $74 °$ D、 $76 °$

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12. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点， $D E$ ， $A C$ 相交于点 $F$ ， $S_{△ C E F} = 1$ ，则 $S_{四边形 A B E F} =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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13. 如图，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象与正方形 $A B C D$ 总有交点，且 $A (- 2 ， 2)$ ， $C (- 1 ， 1)$ ，则 $k$ 的取值可能是（）

A、-5 B、 $- \frac{1}{2}$ C、-7.2 D、 $- \frac{7}{2}$

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14. 如图，抛物线与 $x$ 轴交于 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿线段 $A B$ 向点 $B$ 匀速运动，到达点 $B$ 停止， $P Q ⊥ x$ 轴，交抛物线于点 $Q (m ， n)$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．当 $t = 3$ 和 $t = 9$ 时， $n$ 的值相等．下列结论错误的是（）

A、 $t = 6$ 时， $n$ 的值最大 B、 $t = 12$ 时， $n = 0$ C、当 $t = 5$ 和 $t = 7$ 时， $n$ 的值不一定相等 D、 $t = 4$ 时， $m = 0$

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15. 如图，扇形 $P O Q$ 可以绕着正六边形 $A B C D E F$ 的中心 $O$ 旋转，若 $∠ P O Q = 120 °$ ， $O P$ 等于正六边形 $A B C D E F$ 的边心距的2倍， $A B = 2$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{4}{3} π - 2 \sqrt{3}$ B、 $4 π - 2 \sqrt{3}$ C、 $4 π - \sqrt{3}$ D、 $\frac{16}{3} π - 4 \sqrt{3}$

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16. 某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为 $x$ （元/千克）（ $x \geq 30$ ，且 $x$ 是按0.5的倍数上涨），当日销售量为 $y$ （千克）．有下列说法：
①当 $x = 36$ 时， $y = 420$ ② $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y = - 30 x + 1500$ ③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克

其中正确的是（）

A、①② B、①②④ C、①②③ D、②④

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二、填空题

17. 在平面直角坐标系中，点 $A (8 ， 6)$ 关于原点 $O$ 的对称点是点 $A^{'}$ ，则 $O A^{'} =$ ．

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18. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是上半圆的中点， $A C = 1$ ，点 $P$ 是下半圆上一点（不与点 $A$ ， $B$ 重合）， $A D$ 平分 $∠ P A B$ 交 $P C$ 于点 $D$ ，则 $P D$ 的最大值为．

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19. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $A C = 6$ ．动点 $P$ ， $Q$ 从点 $A$ 同时出发，点 $P$ 以每秒5个单位的速度沿边 $A B$ 向终点 $B$ 匀速运动，点 $Q$ 以每秒6个单位的速度沿边 $A C$ 向终点 $C$ 匀速运动，连接 $P Q$ ，以 $P Q$ 为边作正方形 $P Q M N$ ，使得点 $M$ ， $C$ 始终在 $P Q$ 的同侧．设点 $P$ 运动的时间为 $t$ 秒．

(1)、线段 $A Q$ 的垂直平分线点 $P$ （填“经过”或“不经过”）；

(2)、 $P Q =$ （用含 $t$ 的式子表示）；

(3)、如图2，当点 $M$ 落在边 $B C$ 上时， $t =$ ．

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三、解答题

20. 用指定方法解方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ （公式法）；

(2)、 $2 x^{2} - 2 = x$ （配方法）．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $A C = 3$ ．将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转一个角 $α$ ，得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，点 $A$ 恰好在 $A^{'} C^{'}$ 边上．

(1)、求 $α$ 的度数；

(2)、求 $A C^{'}$ 的长．

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22. 有三张完全相同的不透明卡片，小明在其正面各写上一组线段的长度，并分别标注序号①，②，③，如图所示，然后将这三张卡片背面朝上洗匀．

① $3 cm$ ， $3 cm$ ， $2 cm$ ， $2 cm$

② $1 cm$ ， $2 cm$ ， $3 cm$ ， $4 cm$

③ $3 cm$ ， $4 cm$ ， $6 cm$ ， $8 cm$

(1)、若从中随机抽取一张，则抽到一张成比例线段卡片的概率是；

(2)、若从中随机抽取一张，记下序号后放回，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到两张成比例线段卡片的概率．

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23. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $P$ 是 $B C$ 上一点（点 $P$ 不与点 $B$ ， $C$ 重合），连接 $A P$ ，作 $P E ⊥ A P$ ， $P E$ 交 $C D$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $△ P E C ∽ △ A P B$ ；

(2)、若 $A B = 6$ ，点 $P$ 为 $B C$ 的中点，求 $D E$ 的长．

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24. 某学校要修建一个占地面积为64平方米的矩形体育活动场地，四周要建上高为1米的围挡．学校准备了可以修建45米长的围挡材料（可以不用完）．设矩形地面的边长 $A B = x$ 米， $B C = y$ 米．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式（不写自变量的取值范围）；

(2)、能否建造 $A B = 20$ 米的活动场地？请说明理由；

(3)、若矩形地面的造价为1千元/平方米，侧面围挡的造价为0.5千元/平方米，建好矩形场地的总费用为80.4千元，求出 $x$ 的值．（总费用 $=$ 地面费用 $+$ 围挡费用）

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25. 如图，抛物线 $G ： y = - x^{2} + 2 m x - m^{2} + m + 3$ 的顶点为 $P (x_{P} ， y_{P})$ ，抛物线 $G$ 与直线 $l ： x = 3$ 交于点 $Q$ ．

(1)、 $x_{P} =$ ， $y_{P} =$ （分别用含 $m$ 的式子表示）； $y_{P}$ 与 $x_{P}$ 的函数关系式为；

(2)、求点 $Q$ 的纵坐标 $y_{Q}$ （用含 $m$ 的式子表示），并求 $y_{Q}$ 的最大值；

(3)、随 $m$ 的变化，抛物线 $G$ 会在直角坐标系中移动，求顶点 $P$ 在 $y$ 轴与 $l$ 之间移动（含 $y$ 轴与 $l$ ）的路径的长．

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26. 如图1，扇形 $A O B$ 的半径为4，圆心角为 $90 °$ ，点 $C$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 上任意一点（不与点 $A$ ， $B$ 重合），且 $C D ⊥ B O$ 于点 $D$ ，点 $P$ 为 $△ C O D$ 的内心，连接 $O P$ ， $B P$ ， $C P$ ．

(1)、求 $∠ O P B$ 的度数；

(2)、如图2，⊙ $M$ 为 $△ B O P$ 的外接圆，点 $C$ 在 $\overset{⌢}{A B}$ 上运动．
①当 $C D = O D$ 时，判断 $O C$ 与⊙ $M$ 的位置关系，并加以证明；

②设⊙ $M$ 的半径为 $r$ ，若 $r$ 的值不随点 $C$ 的运动而改变，请直接写出 $r$ 的值；若随着点 $C$ 的运动而在一个范围内变化，请直接写出这个变化范围．

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