北京市西城区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在抛物线 $y = x^{2} - 4 x - 5$ 上的一个点的坐标为（）

A、 $(0 ， - 4)$ B、 $(2 ， 0)$ C、 $(1 ， 0)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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2. 在半径为 $6 cm$ 的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（）

A、 $πcm$ B、 $2 πcm$ C、 $3 πcm$ D、 $6 πcm$

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3. 将抛物线 $y = x^{2}$ 先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得到的新的拋物线为（）

A、 $y = {(x + 3)}^{2} + 5$ B、 $y = {(x - 3)}^{2} + 5$ C、 $y = {(x + 5)}^{2} + 3$ D、 $y = {(x - 5)}^{2} + 3$

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4. 2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰．如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形 $A B C D$ 与四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是位似图形，点 $O$ 是位似中心，点 $A^{'}$ 是线段 $O A$ 的中点，那么以下结论正确的是（）

A、四边形 $A B C D$ 与四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的相似比为1：1 B、四边形 $A B C D$ 与四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的相似比为1：2 C、四边形 $A B C D$ 与四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的相似比为3：1 D、四边形 $A B C D$ 与四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积比为4：1

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5. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是弦，若 $∠ C D B = 32 °$ ，则 $∠ A B C$ 等于（）

A、68° B、64° C、58° D、32°

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6. 若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）经过 $A (1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，则抛物线的对称轴为（）

A、 $x = 1$ B、 $x = 2$ C、 $x = 3$ D、 $x = 4$

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7. 近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为 $x$ ，则可列出关于 $x$ 的方程为（）．

A、 $2.44 (1 + x) = 6.72$ B、 $2.44 (1 + 2 x) = 6.72$ C、 $2.44 {(1 + x)}^{2} = 6.72$ D、 $2.44 {(1 - x)}^{2} = 6.72$

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8. 现有函数 $y = {\begin{array}{l} x + 4 (x < a) ， \\ x^{2} - 2 x (x \geq a) ， \end{array}$ 如果对于任意的实数 $n$ ，都存在实数 $m$ ，使得当 $x = m$ 时， $y = n$ ，那么实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $- 5 \leq a \leq 4$ B、 $- 1 \leq a \leq 4$ C、 $- 4 \leq a \leq 1$ D、 $- 4 \leq a \leq 5$

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二、填空题

9. 若正六边形的边长为2，则它的外接圆半径是.

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10. 若抛物线 $y = a x^{2}$ （ $a \neq 0$ ）经过 $A (1 ， 3)$ ，则该抛物线的解析式为．

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11. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $A B = 9$ ，则 $\sin B =$ ．

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12. 若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的示意图如图所示，则 $a$ 0， $b$ $a$ 0， $c$ $a$ 0（填“ $>$ ”，“＝”或“ $<$ ”）．

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13. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A B = 10$ ， $C D$ 是弦， $A B ⊥ C D$ 于点 $E$ ，若 $C D = 6$ ，则 $E B =$ ．

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14. 如图， $P A$ ， $P B$ 是 $⊙ O$ 的两条切线， $A$ ， $B$ 为切点，若 $O A = 2$ ， $∠ A P B = 60 °$ ，则 $P B =$ .

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15. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $P (4 ， 3)$ ， $⊙ O$ 经过点 $P$ ．点 $A$ ，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $P A = P B$ ，延长 $P A$ ， $P B$ 分别交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，点 $D$ ，设直线 $C D$ 与 $x$ 轴正方向所夹的锐角为 $α$ ．

(1)、 $⊙ O$ 的半径为；

(2)、 $\tan α =$ ．

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三、解答题

16. 放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．

制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动， $O$ 为固定点， $O D = D A = C B$ ， $D C = A B = B E$ ，在点 $A$ ， $E$ 处分别装上画笔．

画图：现有一图形 $M$ ，画图时固定点 $O$ ，控制点 $A$ 处的笔尖沿图形 $M$ 的轮廓线移动，此时点 $E$ 处的画笔便画出了将图形 $M$ 放大后的图形 $N$ ．

原理：

连接 $O A$ ， $O E$ ，可证得以下结论：

① $△ O D A$ 和 $△ O C E$ 为等腰三角形，则 $∠ D O A = \frac{1}{2} (180 ° - ∠ O D A)$ ， $∠ C O E = \frac{1}{2}$ （180°-∠    ▲    ）；

②四边形 $A B C D$ 为平行四边形（理由是    ▲    ）；

③ $∠ D O A = ∠ C O E$ ，于是可得 $O$ ， $A$ ， $E$ 三点在一条直线上；

④当 $\frac{D C}{C B} = \frac{3}{5}$ 时，图形 $N$ 是以点 $O$ 为位似中心，把图形 $M$ 放大为原来的    ▲    倍得到的．

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17. 计算： $2 \sin 60 ° - \tan 45 ° + \cos^{2} 30 °$ ．

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18. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 x + k - 4 = 0$ ．

(1)、如果方程有两个不相等的实数根，求 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $k = 1$ ，求该方程的根．

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19. 借助网格画图并说理：
如图所示的网格是正方形网格， $△ A B C$ 的三个顶点是网格线的交点，点 $A$ 在 $B C$ 边的上方， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $B D = 4$ ， $C D = 2$ ， $A D = 3$ ．以 $B C$ 为直径作 $⊙ O$ ，射线 $D A$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $B E$ ， $C E$ ．

(1)、补全图形；

(2)、填空： $∠ B E C =$ °，理由是；

(3)、判断点 $A$ 与 $⊙ O$ 的位置关系并说明理由；

(4)、 $∠ B A C$ $∠ B E C$ （填“ $>$ ”，“＝”或“ $<$ ”）．

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20. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的图象经过 $(3 ， 0)$ 点，当 $x = 1$ 时，函数的最小值为-4．

(1)、求该二次函数的解析式并画出它的图象；

(2)、直线 $x = m$ 与抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）和直线 $y = x - 3$ 的交点分别为点 $C$ ，点 $D$ ，点 $C$ 位于点 $D$ 的上方，结合函数的图象直接写出 $m$ 的取值范围．

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21. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 为弦，点 $D$ 在 $⊙ O$ 外， $∠ B C D = ∠ A$ ， $O D$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C D = 4$ ， $A C = 2.7$ ， $\cos ∠ B C D = \frac{9}{20}$ ，求 $D E$ 的长．

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22. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $E$ 在 $A B$ 边上， $B E = 1$ ， $F$ 为 $B C$ 的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形 $A E F C D$ ，点 $P$ 在线段 $E F$ 上运动（点 $P$ 可与点 $E$ ，点 $F$ 重合），作矩形 $P M D N$ ，其中 $M$ ， $N$ 两点分别在 $C D$ ， $A D$ 边上．设 $C M = x$ ，矩形 $P M D N$ 的面积为 $S$ ．

(1)、 $D M =$ （用含 $x$ 的式子表示）， $x$ 的取值范围是；

(2)、求 $S$ 与 $x$ 的函数关系式；

(3)、要使矩形 $P M D N$ 的面积最大，点 $P$ 应在何处？并求最大面积．

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23. 已知抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + x$ ．

(1)、直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与 $y$ 轴的交点坐标；

(2)、已知该抛物线经过 $A (3 n + 4 ， y_{1})$ ， $B (2 n - 1 ， y_{2})$ 两点．
①若 $n < - 5$ ，判断 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系并说明理由；

②若 $A$ ， $B$ 两点在抛物线的对称轴两侧，且 $y_{1} > y_{2}$ ，直接写出 $n$ 的取值范围．

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24. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $B C = \sqrt{3}$ ．将 $△ A B C$ 绕着点 $B$ 顺时针旋转 $α$ （ $0 ° \leq α \leq 120 °$ ）得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，点 $A$ ，点 $C$ 旋转后的对应点分别为点 $A^{'}$ ，点 $C^{'}$ ．

(1)、如图1，当点 $C^{'}$ 恰好为线段 $A A^{'}$ 的中点时， $α =$ °， $A A^{'} =$ °；

(2)、线段 $A A^{'}$ 与线段 $C C^{'}$ 有交点时，记交点为点 $D$ ．
①在图2中补全图形，猜想线段 $A D$ 与 $A^{'} D$ 的数量关系并加以证明；

②连接 $B D$ ，请直接写出 $B D$ 的长的取值范围．

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25. 对于平面内的图形 $G_{1}$ 和图形 $G_{2}$ ，记平面内一点 $P$ 到图形 $G_{1}$ 上各点的最短距离为 $d_{1}$ ，点 $P$ 到图形 $G_{2}$ 上各点的最短距离为 $d_{2}$ ，若 $d_{1} = d_{2}$ ，就称点 $P$ 是图形 $G_{1}$ 和图形 $G_{2}$ 的一个“等距点” ．
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (6 ， 0)$ ， $B (0 ， 2 \sqrt{3})$ ．

(1)、在 $R (3 ， 0)$ ， $S (2 ， 0)$ ， $T (1 ， \sqrt{3})$ 三点中，点 $A$ 和点 $B$ 的等距点是；

(2)、已知直线 $y = - 2$ ．
①若点 $A$ 和直线 $y = - 2$ 的等距点在 $x$ 轴上，则该等距点的坐标为 ▲ ；

②若直线 $y = a$ 上存在点 $A$ 直线 $y = - 2$ 的等距点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、记直线 $A B$ 为直线 $l_{1}$ ，直线 $l_{2}$ ： $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，以原点 $O$ 为圆心作半径为 $r$ 的 $⊙ O$ ．若 $⊙ O$ 上有 $m$ 个直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 的等距点，以及 $n$ 个直线 $l_{1}$ 和 $y$ 轴的等距点（ $m \neq 0$ ， $n \neq 0$ ），求 $m \neq n$ 时，求 $r$ 的取值范围．

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