北京市东城区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、直角三角形 B、圆 C、等边三角形 D、四边形

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2. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，下列函数的图象上存在点 $P (m ， n) (m > 0 ， n > 0)$ 的是（）

A、 $y = \frac{2}{x}$ B、 $y = - x - 1$ C、 $y = - x^{2} - 1$ D、 $y = - 3 x$

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3. 若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} - 2 a x + 1 = 0$ 的一个根是-1，则 $a$ 的值是（）

A、1 B、-1 C、 $- \frac{1}{3}$ D、-3

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4. 若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是（）

A、正比例函数关系 B、反比例函数关系 C、一次函数关系 D、二次函数关系

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 关于原点 $O$ 成中心对称的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有 $n$ 张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是 $\frac{1}{5}$ ，则 $n$ 的值是（）

A、250 B、10 C、5 D、1

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7. 如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为 $A C ， B D$ ，设交点为 $P$ ，点 $C ， D$ 之间有一座假山．为了测量 $C ， D$ 之间的距离，小明已经测量了线段 $A P$ 和 $P D$ 的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算 $C ， D$ 之间的距离．小明应该测量的是（）

A、线段 $B P$ B、线段 $C P$ C、线段 $A B$ D、线段 $A D$

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8. 如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为 $R$ ，圆的半径为 $r$ ，则 $R$ 与 $r$ 满足的数量关系是（）

A、 $R = \sqrt{3} r$ B、 $R = 2 r$ C、 $R = 3 r$ D、 $R = 4 r$

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二、填空题

9. 写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当 $x > 0$ 时， $y$ 随着 $x$ 的增大而减小．这个二次函数的解析式可以是．

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10. 如图，点 $A$ 在 $⊙ O$ 上，弦 $B C$ 垂直平分 $O A$ ，垂足为 $D$ ．若 $O A = 4$ ，则 $B C$ 的长为．

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11. $A$ 盒中有2个黄球、1个白球， $B$ 盒中有1个黄球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，取出的2个球都是白球的概率是．

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12. 2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为 $x$ ，则所列的方程应为（不增加其它未知数）．

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13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将抛物线 $y = x^{2}$ 沿着 $y$ 轴平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为．

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14. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形．若将 $A C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转角 $α$ 后得到 $A C^{'}$ ，连接 $B C^{'}$ 和 $C C^{'}$ ，则 $∠ B C^{'} C$ 的度数为．

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15. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x + c$ 与直线 $y = m$ 相交于 $A ， B$ 两点，若点 $A$ 的横坐标 $x_{A} = - 1$ ，则点 $B$ 的横坐标 $x_{B}$ 的值为．

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16. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B > A C ， D$ 是边 $B C$ 上一动点，设 $B ， D$ 两点之间的距离为 $x ， A ， D$ 两点之间的距离为 $y$ ，表示 $y$ 与 $x$ 的函数关系的图象如图2所示．则线段 $A C$ 的长为，线段 $A B$ 的长为．

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三、解答题

17. 已知：如图线段 $A B$ ．

求作：以 $A B$ 为斜边的直角 $△ A B C$ ，使得一个内角等于30°．

作法：①作线段 $A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $O$ ；

②以点 $O$ 为圆心， $O A$ 长为半径画圆；

③以点 $B$ 为圆心， $O B$ 长为半径画弧，与 $⊙ O$ 相交，

记其中一个交点为 $C$ ；

④分别连接 $A C ， B C$ ．

$△ A B C$ 就是所求作的直角三角形．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接 $O C$ ，

$∵ A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，

$∴ ∠ A C B =$ ▲ °（ ▲ ）（填推理的依据）．

$∴ △ A B C$ 是以 $A B$ 为斜边的直角三角形．

$∵ O C = O B = B C$ ，

$∴ △ O B C$ 是等边三角形．

$∴ ∠ C O B = 60^{°}$ ．

$∴ ∠ A =$ ▲ °．

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数的图象与 $y$ 轴交于点 $A (0 ， - 1)$ ，且过点 $B (1 ， 4) ， C (- 2 ， 1)$ ．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、当 $- 1 ⩽ x ⩽ 0$ 时，求 $y$ 的取值范围．

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19. 如图， $A M$ 平分 $∠ B A D$ ，作 $B F / / A D$ 交 $A M$ 于点 $F$ ，点 $C$ 在 $B F$ 的延长线上， $C F = B F$ ， $D C$ 的延长线交 $A M$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $A B = B F$ ；

(2)、若 $A B = 1 ， A D = 4$ ，求 $S_{△ E F C} ： S_{△ E A D}$ 的值．

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20. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x + n = 0$ ．

(1)、若方程有两个相等的实数根用含 $m$ 的代数式表示 $n$ ；

(2)、若方程有两个不相等的实数根，且 $m = - 4$ ．
①求 $n$ 的取值范围；

②写出一个满足条件的 $n$ 的值，并求此时方程的根．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 过点 $A (1 ， 1)$ ，与直线 $y = 4 x$ 交于 $B ， C$ 两点（点 $B$ 的横坐标小于点 $C$ 的横坐标）．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、求点 $B ， C$ 的坐标；

(3)、若直线 $x = t$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于点 $D (t ， y_{1})$ ，与直线 $y = 4 x$ 交于点 $E (t ， y_{2})$ ．当 $y_{1} < y_{2}$ 时，写出 $t$ 的取值范围．

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22. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°} ， A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ，以点 $D$ 为圆心， $D C$ 长为半径画 $⊙ D$ ．

(1)、补全图形，判断直线 $A B$ 与 $⊙ D$ 的位置关系，并证明；

(2)、若 $B D = 5 ， A C = 2 D C$ ，求 $⊙ D$ 的半径．

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中已知抛物线 $y = x^{2} - 2 b x + 1$ ．

(1)、若此抛物线经过点 $(- 2 ， - 2)$ ，求 $b$ 的值；

(2)、求抛物线的顶点坐标（用含 $b$ 的式子表示）；

(3)、若抛物线上存在两点 $A (m ， m)$ 和 $B (n ， n)$ ，且 $| m | > 2 ， | n | < 2$ ，求 $b$ 的取值范围．

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24. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{3} ， C D ⊥ A B$ 于点 $D ， C D = \sqrt{2}$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 是线段 $A B$ 的中点时，
① $A C$ 的长为；

②延长 $A C$ 至点 $E$ ，使得 $C E = A C$ ，此时 $C E$ 与 $C B$ 的数量关系是， $∠ B C E$ 与 $∠ A$ 的数量关系是；

(2)、如图2，当点 $D$ 不是线段 $A B$ 的中点时，画 $∠ B C E$ （点 $E$ 与点 $D$ 在直线 $B C$ 的异侧），使 $∠ B C E = 2$ $∠ A ， C E = C B$ ，连接 $A E$ ．
①按要求补全图形；

②求 $A E$ 的长．

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 的半径为1．
给出如下定义：记线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，当点 $M$ 不在 $⊙ O$ 上时，平移线段 $A B$ ，使点 $M$ 落在 $⊙ O$ 上，得到线段 $A^{'} B^{'}$ （ $A^{'} ， B^{'}$ 分别为点 $A ， B$ 的对应点）线段 $A A^{'}$ 长度的最小值称为线段 $A B$ 到 $⊙ O$ 的“平移距离”．

(1)、已知点 $A$ 的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，点 $B$ 在 $x$ 轴上．
①若点 $B$ 与原点 $O$ 重合，则线段 $A B$ 到 $⊙ O$ 的“平移距离”为；

②若线段 $A B$ 到 $⊙ O$ 的“平移距离”为2，则点 $B$ 的坐标为；

(2)、若点 $A ， B$ 都在直线 $y = \frac{4}{3} x + 4$ 上，且 $A B = 2$ ，记线段 $A B$ 到 $⊙ O$ 的“平移距离”为 $d_{1}$ ，求 $d_{1}$ 的最小值；

(3)、若点 $A$ 的坐标为 $(3 ， 4)$ ，且 $A B = 2$ ，记线段 $A B$ 到 $⊙ O$ 的“平移距离”为 $d_{2}$ ，直接写出 $d_{2}$ 的取值范围．

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