北京市大兴区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 4$ ，则 $\sin A$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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2. 若 $\frac{x}{y} = \frac{5}{2}$ ，则 $\frac{x + y}{y}$ 的值是（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、1

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3. 如图，直线 $l_{1} // l_{2} // l_{3}$ ，直线 $l_{4}$ ， $l_{5}$ 被 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 所截，截得的线段分别为 $A B$ ， $B C$ ， $D E$ ， $E F$ ．若 $A B = 4$ ， $B C = 6$ ， $D E = 3$ ，则 $E F$ 的长是（）

A、4 B、4.5 C、5 D、5.5

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4. 将抛物线 $y = - 2 x^{2}$ 先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）

A、 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} + 3$ B、 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} - 3$ C、 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} - 3$ D、 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 3$

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5. 如图，点 $A$ 是函数 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 图象上的一点，过点 $A$ 分别向 $x$ 轴， $y$ 轴作垂线，垂足为点 $B$ ， $C$ ，则四边形 $A B O C$ 的面积是（）

A、3 B、6 C、12 D、24

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6. 如图，⊙O的直径 $A B$ 垂直于弦 $C D$ ，垂足为 $E$ ．若 $∠ A = 30 °$ ， $A C = 2$ ，则 $C D$ 的长是（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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7. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $(1 ， 0)$ ，且对称轴为直线 $x = - 1$ ，其部分图象如图所示．下列说法正确的是（）

A、 $a c > 0$ B、 $b^{2} - 4 a c < 0$ C、 $9 a - 3 b + c > 0$ D、 $a m^{2} + b m < a - b$ （其中 $m \neq - 1$ ）

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8. 如图， $A B$ 是⊙O的直径，点 $P$ 是 $⊙ O$ 上一个动点（点 $P$ 不与点 $A$ ， $B$ 重合），在点 $P$ 运动的过程中，有如下四个结论：①至少存在一点 $P$ ，使得 $P A > A B$ ；②若 $\overset{⌢}{P B} = 2 \overset{⌢}{P A}$ ，则 $P B = 2 P A$ ；③ $∠ P A B$ 不是直角；④ $∠ P O B = 2 ∠ O P A$ ．上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①③ B、③④ C、②③④ D、①②④

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二、填空题

9. 若反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象分布在第二、第四象限，则 $m$ 的取值范围是．

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10. 如图所示的网格是正方形网格， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是网格线的交点，则 $∠ A B C$ 与 $∠ B C D$ 的大小关系为： $∠ A B C$ $∠ B C D$ （填“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ”）．

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11. 抛物线 $y = - 3 {(x - 2)}^{2} - 4$ 的顶点坐标是．

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12. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $B D$ 是 $A C$ 边上的中线，则 $\tan ∠ A D B$ 的值是．

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13. 若扇形的圆心角为 $120 °$ ，半径为 $2$ ，则该扇形的面积是（结果保留 $π$ ）．

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14. 请你写出一个函数，使得当自变量 $x > 0$ 时，函数 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，这个函数的解析式可以是．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B > A C$ ，将 $△ A B C$ 以点 $A$ 为中心顺时针旋转，得到 $△ A E D$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上， $D E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ．如下结论中：① $D A$ 平分 $∠ E D C$ ；② $△ A E F ∽ △ D B F$ ；③ $∠ B D F = ∠ C A D$ ；④ $E F = B D$ ．所有正确结论的序号是．

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16. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 经过 $A (2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点．若 $P (5 ， y_{1})$ ， $Q (m ， y_{2})$ 是抛物线上的两点，且 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 计算： $2 \sin 45 ° + | \sqrt{2} - 1 | - \tan 60 ° + {(π - 2)}^{0}$ .

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18. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $(1 ， - 4)$ ， $(0 ， - 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求抛物线与 $x$ 轴的交点坐标．

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19. 下面是小青设计的作一个 $30 °$ 角的尺规作图过程．
已知：线段 $A B$ ．

求作： $∠ A P B$ ，使得 $∠ A P B = 30 °$ ．

作法：

①分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心， $A B$ 的长为半径作弧，两弧分别交于 $C$ ， $D$ 两点；

②以点 $C$ 为圆心， $C A$ 的长为半径作⊙C；

③在优弧 $A B$ 上任意取一点 $P$ （点 $P$ 不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $P A$ ， $P B$ ．则 $∠ A P B$ 就是所求作的角．

根据小青设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接 $A C$ ， $B C$ ．

$∵ A C = B C = A B$ ，

$∴ △ A B C$ 是等边三角形．

$∴ ∠ A C B =$ ▲ $°$ ．

$∵ P$ 是优弧 $A B$ 上一点，

$∴ ∠ A P B = \frac{1}{2} ∠ A C B$ （ ▲ ）（填写推理依据）．

$∴ ∠ A P B = 30 °$ ．

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20. 在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度．如图，在树前的平地上选择一点 $C$ ，测得树的顶端 $A$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $C$ ， $B$ 间选择一点 $D$ （ $C$ ， $D$ ， $B$ 三点在同一直线上），测得树的顶端 $A$ 的仰角为 $75 °$ ， $C D$ 间距离为 $20 m$ ，求这棵树 $A B$ 的高度（结果保留根号）．

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l ： y = k x + 1 (k \neq 0)$ 与函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象 $G$ 交于点 $A (1 ， 2)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、求 $k$ ， $m$ 的值；

(2)、点 $P$ 为图象 $G$ 上一点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线 $P Q$ 交直线 $l$ 于点 $Q$ ，作直线 $P A$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ，若 $S_{△ A P Q} ： S_{△ A C B} = 1 ： 4$ ，求点 $P$ 的坐标．

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22. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $O$ 在对角线 $A C$ 上，以 $O$ 为圆心， $O C$ 的长为半径的 $⊙ O$ 与 $A C$ ， $C D$ 分别交于点 $E$ ， $F$ ，且 $∠ D A F = ∠ B A C$ ．

(1)、求证：直线 $A F$ 与⊙O相切；

(2)、若 $\tan ∠ D A F = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $A B = 4$ ，求⊙O的半径．

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + a + 1 (a < 0)$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ．

(1)、用含有 $a$ 的代数式表示 $b$ ；

(2)、求抛物线顶点 $M$ 的坐标；

(3)、横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点 $P (0 ， a)$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点．记抛物线在点 $A$ ， $B$ 之间的部分与线段 $A B$ 围成的区域（不含边界）为 $W$ ．
①当 $a = - 1$ 时，直接写出区域 $W$ 内整点的个数；

②若区域 $W$ 内恰有 $3$ 个整点，结合函数图象，求 $a$ 的取值范围．

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24. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $D$ 是射线 $C A$ 上一点，连接 $B D$ ，以点 $B$ 为中心，将线段 $B D$ 顺时针旋转 $60 °$ ，得到线段 $B E$ ，连接 $A E$ ．

(1)、如图 $1$ ，当点 $D$ 在线段 $C A$ 上时，连接 $D E$ ，若 $D E ⊥ A B$ ，则线段 $A E$ ， $B E$ 的数量关系是；

(2)、当点 $D$ 在线段 $C A$ 的延长线上时，依题意补全图形 $2$ ．
①探究线段 $A E$ ， $B E$ 的数量关系，并证明；

②直接写出线段 $C D$ ， $A B$ ， $A E$ 之间的数量关系．

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知线段 $A B$ 和点 $P$ ，给出如下定义：若 $P A = P B$ 且点 $P$ 不在线段 $A B$ 上，则称点 $P$ 是线段 $A B$ 的等腰顶点．特别地，当 $∠ A P B \geq 90 °$ 时，则称点 $P$ 是线段 $A B$ 的非锐角等腰顶点．

(1)、已知点 $A (2 ， 0)$ ， $B (4 ， 2)$ ．
①在点 $C (4 ， 0)$ ， $D (3 ， 1)$ ， $E (- 1 ， 5)$ ， $F (0 ， 5)$ 中，是线段 $A B$ 的等腰顶点的是 ▲ ；

②若点 $P$ 在直线 $y = k x + 3 (k \neq 0)$ 上，且点 $P$ 是线段 $A B$ 的非锐角等腰顶点，求 $k$ 的取值范围；

(2)、直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $N$ ．⊙P的圆心为 $P (0 ， t)$ ，半径为 $\sqrt{3}$ ，若⊙P上存在线段 $M N$ 的等腰顶点，请直接写出 $t$ 的取值范围．

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