甘肃省定西市临洮县2020-2021学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（）

A、菱形 B、矩形 C、五角星 D、线段

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2. 方程 $x (x - 4) = 0$ 的根是（）

A、 $x = 4$ B、 $x = 0$ C、 $x_{1} = 0 ， x_{2} = 4$ D、 $x_{1} = 0 ， x_{2} = - 4$

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3. 抛物线 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ 的顶点坐标是（）

A、 $(1, 3)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $(1, - 3)$ D、 $(- 1, - 3)$

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4. 一元二次方程 $x^{2} - 8 x - 1 = 0$ 配方后可变形为（）

A、 ${(x + 4)}^{2} = 17$ B、 ${(x + 4)}^{2} = 15$ C、 ${(x - 4)}^{2} = 17$ D、 ${(x - 4)}^{2} = 15$

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5. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（）

A、5 B、 $\sqrt{23}$ C、7 D、 $\sqrt{29}$

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6. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（）

A、11 B、11或13 C、13 D、以上选项都不正确

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7. 如图， $C D$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $A B ⊥ C D$ 于 $E$ ，连接 $B C$ 、 $B D$ ，下列结论中不一定正确的是（）

A、 $A E = B E$ B、 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B D}$ C、 $O E = D E$ D、 $∠ D B C = 90 °$

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形， $⊙ O$ 经过点 $A$ 、 $C$ 、 $D$ ，与 $B C$ 相交于点 $E$ ，连接 $A C$ 、 $A E$ .若 $∠ D = 80 °$ ，则 $∠ E A C$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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9. 已知点 $A (1, y_{1}), B (2, y_{2})$ 在抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2} + 2$ 上，则下列结论正确的是（）

A、 $2 > y_{1} > y_{2}$ B、 $2 > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{2} > 2$ D、 $y_{2} > y_{1} > 2$

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10. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c$ 是常数， $a \neq 0$ ）图象的一部分，与 $x$ 轴的交点 $A$ 在点 $(2 ， 0)$ 和 $(3 ， 0)$ 之间，对称轴是 $x = 1$ .对于下列说法：① $a b c < 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③ $3 a + c > 0$ ；④ $a + b \geq m (a m + b) (m$ 为实数）﹔⑤当 $- 1 < x < 3$ 时， $y > 0$ ，其中正确的是（）

A、①②⑤ B、①②④ C、②③④ D、③④⑤

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二、填空题

11. 已知x=1是方程x²+bx-2=0的一个根，则b的值是；方程的另一个根是.

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12. 抛物线 $y = x^{2} + x$ 向下平移 $2$ 个单位长度，再向左平移 $3$ 个单位长度，得到的抛物线表达式为.

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13. 若 $| b - 1 | + \sqrt{a - 4} = 0$ ，且一元二次方程 $k x^{2} + a x + b = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是.

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14. $△ A B O$ 与 $△ A_{1} B_{1} O$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点 $O$ 成中心对称，其中点 $A (4 ， 2)$ ，则点 $A_{1}$ 的坐标是.

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15. 某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为.

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16. 关于 $x$ 的一元二次方程 $- x^{2} + 2 x + k = 0$ 的一个解是 $x_{1} = 3$ ，则抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + k$ 与 $x$ 轴的交点坐标是.

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17. 如图，在 $⊙ O$ 中，半径 $O C$ 垂直 $A B$ 于 $D ， A B = 8 ， C D = 2$ ，则 $⊙ O$ 的半径是.

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18. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的对称轴是过点 $(1 ， 0)$ 且平行于 $y$ 轴的直线，若点 $P (4 ， 0)$ 在该抛物线上，则 $4 a - 2 b + c$ 的值为.

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三、解答题

19. 解下列方程

(1)、 $x^{2} + 2 x - 5 = 0$

(2)、 $x^{2} - 1 = 2 (x + 1)$

(3)、 $3 x^{2} - 2 x - 2 = 0$

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20. 已知抛物线的图象的顶点坐标为 $(2 ， - 3)$ ，且过点 $(4 ， 1)$ ，求此抛物线的解析式.

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21. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m．若水面下降了2.5m，水面的宽度增加多少？

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22. 已知关于x的方程x²+mx+m-2=0.

(1)、若此方程的一个根为1,求m的值；

(2)、求证：不论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.

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23. 如图，已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-2，3)、B(-6，0)、C(-1，0).

(1)、将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转 90°. 画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；

(2)、请直接写出：以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标.

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24. 如图所示， $⊙ О$ 的直径 $A B$ 为 $10 cm ，$ 弦 $A C$ 为 $6 cm ， ∠ A C B$ 的平分线交于 $⊙ O$ 于点 $D ，$ 求 $B C ， A D$ 的长.

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25. 如图，已知抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 经过A（−1，0），B（3，0）两点.

(1)、求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)、当0<x<3时，直接写出y的取值范围；

(3)、点P为抛物线上一点，若S_△PAB=10，求出此时点P的坐标.

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26. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．

(1)、求y与x的函数关系式．

(2)、要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？

(3)、求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．

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27. 如图，以 $△ A B C$ 的一边 $A B$ 为直径的半圆与其它两边 $A C$ ， $B C$ 的交点分别为 $D$ ， $E$ ，且 $\overset{⌢}{D E} = \overset{⌢}{B E}$ .

(1)、试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由.

(2)、已知半圆的半径为5， $B C = 12$ ，求 $B D$ 的长.

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28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且 $O A = 2 O C = 8 O B$ ，点P是第三象限内抛物线上的一动点.

(1)、求此抛物线的表达式；

(2)、若 $P C / / A B$ ，求点P的坐标；

(3)、连接 $A C$ ，求 $Δ P A C$ 面积的最大值及此时点P的坐标.

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29. 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E.

(1)、当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；

(2)、若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形.

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