江苏省扬州市江都区八校联谊2020-2021学年九年级上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列说法中，正确的是（）

A、所有的等腰三角形都相似 B、所有的菱形都相似 C、所有的矩形都相似 D、所有的等腰直角三角形都相似

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2. 已知 $△ A B C ∽ △ A' B' C'$ ，且 $∠ A = 50 ° ， ∠ B = 95 °$ ，则 $∠ C'$ 等于（）

A、 $50 °$ B、 $95 °$ C、 $35 °$ D、 $25 °$

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3. 期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”.上面两位同学的话能反映出的统计量分别是（）

A、众数和平均数 B、平均数和中位数 C、众数和方差 D、众数和中位数

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4. 已知圆锥的底面半径为6，母线长为8，圆锥的侧面积为（）

A、60 B、48 C、60π D、48π

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5. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）

A、x(x－1)＝2070 B、x(x＋1)＝2070 C、2x(x＋1)＝2070 D、 $\frac{x (x - 1)}{2}$ ＝2070

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6. 已知点 $(-1， y_{1})$ 、 $(-3 \frac{1}{2} ， y_{2})$ ， $(\frac{1}{2} ， y_{3})$ 在函数 $y = x^{2} + 2 x + 4$ 的图象上，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ C、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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7. 抛物线y=ax²+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①b²﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a =2；④方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根.其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是（）

A、 $6 \sqrt{2} - 2$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $8 \sqrt{2} - 2$

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二、填空题

9. 当 $a =$ 时，函数 $y = (a - 2) x^{a^{2} -2} + a x - 1$ 是关于 $x$ 的二次函数.

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10. 已知 $\frac{a}{6} = \frac{b}{5} = \frac{c}{4}$ ，且 $a + b - c = 7$ ，则 $a$ 的值为.

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11. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为cm.（精确到0.1cm）

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12. 若m是方程2x²﹣3x﹣1=0的一个根，则6m²﹣9m+2017的值为.

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13. 把二次函数y=2x²的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 .

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14. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x² ，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．

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15. 抛物线y= ax²+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x	...	-3	-2	- 1	0	1	...
y	...	-6	0	4	6	6	...

容易看出，（-2，0）是抛物线与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为.

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16. 如图，AB，AC分别是☉O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，AB=5，AC=4，则BD=.

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17. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则不等式 $a {(x - 2)}^{2} + b (x - 2) + c < 0$ 的解集为.

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18. 如图， $R t Δ O A B$ 的顶点 $A (- 2 ， 4)$ 在抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x$ 上，将 $R t Δ O A B$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90^{°}$ 得到 $Δ O C D$ ，现将抛物线沿 $y$ 轴向上平移 $m (m > 0)$ 个单位，使得抛物线与边 $C D$ 只有一个公共点 $P$ ，则 $m$ 的取值范围为.

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三、解答题

19. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} + 4 x - 12 = 0$ ；

(2)、 ${(x - 3)}^{2} = 2 x + 5$ .

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $m x^{2} - (m + 2) x + 2 = 0 (m \neq 0)$ .

(1)、求证：方程一定有两个实数根；

(2)、若此方程的两根为不相等的整数，求正整数 $m$ 的值.

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21. 某中学为了宣传防疫知识，在该校七、八两个年级开展了“防疫知识”大赛活动.为了了解参赛学生的成绩，从两个年级中各随机选取了10名学生的成绩，数据如下：

七年级：92，97，88，92，94，95，92，95，97，98；

八年级：93，94，88，91，92，93，100，98，98，93.

通过整理，得到如下所示的数据分析表.

项目	平均分	中位数	众数	方差
七年级	$a$	94.5	92	8.4
八年级	94	$b$	93	$c$

(1)、填空：

a =

，

b =

；

(2)、通过计算说明哪个年级的成绩更稳定；

(3)、学校规定，成绩不低于96分的选手可以获奖，若该校七年级有300人参加比赛，请估计七年级有多少人获奖.

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22. 防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求.某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园.

(1)、小明从A测温通道通过的概率是；

(2)、利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率.

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23. 如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE ， AD与BE相交于点F ．

(1)、试说明△ABD≌△BCE；

(2)、△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．

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24. 如图， $A B$ 是圆O的弦， $C$ 是圆 $O$ 外一点， $O C ⊥ O A$ ， $CO$ 交 $A B$ 于点P，交圆O于点D，且 $C P = C B$ .

(1)、判断直线 $B C$ 与圆O的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $∠ A = 30^{\circ}$ ， $O P = 1$ ，求图中阴影部分的面积.

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25. 进入冬季，我市空气质量下降，多次出现雾霾天气.商场根据市民健康需要，代理销售一种防尘口罩，进货价为20元/包，经市场销售发现：销售单价为30元/包时，每周可售出200包，每涨价1元，就少售出5包.若供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务.

(1)、试确定周销售量 $y$ （包）与售价 $x$ （元/包）之间的函数关系式并写出 $x$ 的取值范围；

(2)、当售价 $x$ （元/包）定为多少元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润 $w$ （元）最大？最大利润是多少？

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26. 如图，抛物线 $y_{1} = a x^{2} + c$ 的顶点为 $M$ ，且抛物线与直线 $y_{2} = k x + 1$ 相交于 $A ， B$ 两点，且点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 的坐标为 $(2 ， 3)$ ，连接 $A M ， B M$ .

(1)、 $a =$ ， $c =$ ， $k =$ （直接写出结果）；

(2)、当 $y_{1} < y_{2}$ 时，则 $x$ 的取值范围为（直接写出结果）；

(3)、在直线 $A B$ 下方的抛物线上是否存在一点 $P$ ，使得 $Δ A B P$ 的面积最大？若存在，求出 $Δ A B P$ 的最大面积及点 $P$ 坐标.

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27. 阅读下列材料，完成文后任务：
克罗狄斯·托勒密（约公元 $90$ 年—公元 $168$ 年），希腊著名的天文学家、地理学家和光学家.在数学方面，他论证了四边形的特性，即著名的托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和.

用数学文字表示为：如图1，已知四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，则 $A B \cdot C D + B C \cdot A D = A C \cdot B D$

任务：

(1)、如图1，当 $Δ A B D$ 为等边三角形时， $A C$ 与 $B C + C D$ 有怎样的数量关系？并说明理由；

(2)、如图2，已知 $B D$ 为直径， $A D = A B = \frac{13 \sqrt{2}}{2}$ ， $B C = 5$ ，求 $A C$ 的长；

(3)、如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 90 ° ， ∠ B C D = 90 ° ， A D = 3$ ， $A B = 3 \sqrt{3}$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ，则 $Δ A D C$ 的面积为.

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28. 如图，在矩形 $O A B C$ 中，点 $A$ 、点 $C$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上，点 $B (1 ， 2)$ .抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 经过 $A ， C$ 两点，交 $B C$ 的延长线于点 $D$ ，与 $x$ 轴另一个交点为 $E$ ，且 $A E = 4$ .

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点 $P$ 是直线 $O D$ 上方抛物线上的一个动点， $P F // y$ 轴， $P Q ⊥ O D$ ，垂足为 $Q$ .
①猜想： $P Q$ 与 $F Q$ 的数量关系，并证明你的猜想；

②设 $P Q$ 的长为 $l$ ，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，求 $l$ 与 $m$ 的函数表达式，并求 $l$ 的最大值.

(3)、如果 $M$ 是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在一点 $N$ ，使得以 $M 、 N 、 C 、 E$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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