重庆市强基联合体2021届高三上学期数学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in R | 3^{x} < 1}$ ， $B = {y \in R | y > - 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、R D、 $\emptyset$

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2. 若 $i z = - 2 + i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则复数 $z$ 的共轭复数在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”，其意思是“今有人持金出五关，第一关收税金为持金的 $\frac{1}{2}$ ，第2关收税金为剩余的 $\frac{1}{3}$ ，第3关收税金为剩余税金的 $\frac{1}{4}$ ，第4关收税金为剩余税金的 $\frac{1}{5}$ ，第5关收税金为剩余税金的 $\frac{1}{6}$ ”5关所税金之和，恰好重1斤．则在此问题中，第3关收税金为（）斤

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{9}{10}$

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4. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ ，准线为 $l$ ， $P$ 是 $l$ 上一点， $Q$ 是直线 $P F$ 与 $C$ 的交点，若 $| F P | = 4 | F Q |$ ，则 $| F Q | =$ （）

A、4 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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5. 设正实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别满足 $3^{a} = \frac{2}{a}$ ， $\log_{4} b = \frac{2}{b}$ ， $\log_{5} c = \frac{2}{c}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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6. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a^{2} - a^{2} \cos^{2} B + b^{2} \sin^{2} A = 2 a b \cos A \cos B$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形

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7. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，且其图象是连续不断的，满足 $f' (x) + 3 < 0$ ，则不等式 $f (x - 1) > 3 \ln x - 2 x + 2$ 的解集为（）

A、 $(0 ， e)$ B、 $(e ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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8. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，则正方形 $A B C D$ 的内接正 $△ M N R$ （即 $M$ ， $N$ ， $R$ 三点落在正方形三条边上）的面积最大值为（）

A、 $8 \sqrt{3} - 12$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $12 \sqrt{3} - 8$

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二、多选题

9. 下列叙述正确的是（）

A、“ $a = 1$ ”是“ $l_{1} ： a x + y + 1 = 0$ 与 $l_{2} ： a x - y + 3 = 0$ 垂直”的充分不必要条件 B、函数 $f (x) = x + \frac{3}{x + 3} (x > 0)$ 的最小值 $2 \sqrt{3} - 3$ C、若命题 $p ： \forall x \in R$ ， $e^{x} \geq x + 1$ ，则 $\neg p ： \exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} < x_{0} + 1$ D、若四边形 $A B C D$ 是平行四边形，则 $\vec{A B} = \vec{C D}$

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10. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{4}$ 且 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称，则下列判断错误的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为 $\frac{π}{2}$ B、要得到函数 $f (x)$ 的图象，只需将 $y = \sqrt{3} \cos 4 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、 $(- \frac{π}{24} ， \frac{5 π}{24})$ 是 $f (x)$ 的一个单调减区间 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且只有3个极值点

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11. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 为 $C$ 的一条斜率为正数的渐近线， $O$ 为坐标原点．若在 $C$ 的左支上存在点 $P$ ，使点 $P$ 与点 $F_{2}$ 关于直线 $l$ 对称，则下列结论正确的是（）

A、 $| P F_{1} | = 2 a$ B、 $△ P O F_{2}$ 的面积为 $a b$ C、双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ D、直线 $l$ 的方程是 $\sqrt{3} x - y = 0$

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12. 已知 $f (x) = x^{2} \ln x$ ， $g (x) = \frac{f^{'} (x)}{x^{2}}$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(e^{- \frac{1}{2}} ， + \infty)$ 上单调递增． B、 $g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上两个零点 C、当 $0 < x_{1} < x_{2} < e$ 时， $m (x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) < f (x_{1}) - f (x_{2})$ 恒成立，则 $m \geq \frac{3}{2}$ D、若函数 $h (x) = f (x) - a x$ 只有一个极值点，则实数 $a \geq 0$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 + \log_{3} (3 - x) ， x < 0 \\ 3^{x}_{}^{} ， x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 6) + f (\log_{3} 12)$ = ．

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14. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足： $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ 且 $(\vec{a} + \sqrt{3} \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = \sin^{2} \frac{n π}{4}$ ， $n \in N^{*}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2020} =$ ．

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16. 在平面直角坐标 $x O y$ 中，已知 $Q (0 ， 2 \sqrt{2})$ ， $A$ ， $B$ 是圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ 上的两个动点，满足 $| Q A | = | Q B |$ ，则 $△ A B Q$ 面积的最大值是．

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四、解答题

17. ①已知直线 $l_{1} ： \sqrt{3} x + y - 1 = 0$ 的倾斜角为 $α$ ；
② $\vec{m} = (\cos α ， \sin α)$ ， $\vec{n} = (1 ， - \sqrt{3})$ 且 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 共线，其中 $0 < α < π$ ；

③角 $α$ 的终边经过点 $(- 2 ， 2 \sqrt{3})$ ，其中 $0 < α < π$

请你从这三个条件中任选一个给以下小题中的 $α$ 提供信息并加以解答．

(1)、求 $\frac{\sin \frac{10 π}{9} \cos 2 α}{\cos \frac{π}{18} - \sqrt{3} \sin \frac{π}{18}}$ 的值；

(2)、设 $f (x) = \sin (2 x - α) + \sqrt{3} \cos (2 x - α)$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ ．求 $f (x)$ 的最大值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $S_{n} = 2 a_{n} - 4 n$ ，设 $b_{n} = a_{n} + 4$ ， $c_{n} = \frac{1}{b_{n}}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 其前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，如果 $T_{n} \leq m$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.

(1)、求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.

(2)、在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列.

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20. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的三边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $(\tan A + 1) (\tan B + 1) = 2$ ， $c = 2 \sqrt{2}$ ， $a = 2$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，连接 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ ．

(1)、求 $△ O A B$ 的面积；

(2)、过 $B$ 作 $A C$ 边的垂线交于 $D$ 点，连接 $O D$ ，试求 $\cos ∠ O B D$ 的值．

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21. 已知点 $A (0 ， - 1)$ ，圆 $B ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 8$ ， $C$ 为 $⊙ B$ 上一动点，连接 $A C$ ， $B C$ ，设 $E$ 线段 $A C$ 的中点， $D$ 为 $B C$ 上一点，且满足 $\vec{D E} \cdot \vec{A C} = 0$ ，动点 $D$ 形成曲线 $F$ ．

(1)、求 $| O D |$ 的取值范围；

(2)、直线 $D E$ 与曲线 $F$ 是否相切？请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - 1 - a x^{2} - 2 a x ，$ $(x \in R ， a \in R)$ ，其中 $e \approx 2.71828$

(1)、试讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、在 $a > \frac{1}{2 e}$ 时， $f (x)$ 是否存在极值点？如果存在不妨设为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ．试判断 $f (x_{1}) + f (x_{2})$ 与 $- \frac{e + 1}{e}$ 的大小并说明理由．

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