重庆市2020-2021学年高三上学期数学12月诊断性考试试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 3 x - 4 > 0}$ ， $B = {x | | x - 1 | < 2}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x \leq 1}$ B、 ${x | - 1 < x < 3}$ C、 ${x | 1 < x < 3}$ D、 ${x | - 1 < x < 1}$

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2. 已知复数 $z$ 满足( $(2 + i) z = 5 - 5 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $3 - 3 i$ B、 $1 - 3 i$ C、 $1 + 3 i$ D、 $3 + 3 i$

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3. 已知a ， b都是实数，则“ $\log_{2} \frac{1}{a} < \log_{2} \frac{1}{b}$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若 $\tan θ = 3$ ，则 $\frac{\sin θ - 2 \cos θ}{3 \sin θ + \cos θ} =$ （）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $- \frac{3}{10}$

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5. 点 $P$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线上一点，直线 $x = 2 p$ 交抛物线 $C$ 于M ， N两点，若 $△ P M N$ 的面积为20，则 $p =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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6. 函数 $f (x) = \ln \frac{2 - x}{2 + x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知点P是边长为2的菱形 $A B C D$ 内的一点(包含边界)，且 $∠ B A D = 120 °$ ， $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 4]$ B、 $(- 2 ， 4)$ C、 $[- 2 ， 2]$ D、 $(- 2 ， 2)$

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8. 某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数 $H (t)$ 与传染源感染后至隔离前时长t（单位：天）的模型： $H (t) = e^{k t}^{+ λ}$ .已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20.若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为（）

A、44 B、48 C、80 D、125

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3) ， \vec{b} = (- 2 ， 1) ， \vec{c} = (3 ， - 5)$ ，则（）

A、 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) // \vec{c}$ B、 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ C、 $| \vec{a} + \vec{c} | = \sqrt{10} + \sqrt{34}$ D、 $| \vec{a} + \vec{c} | = 2 | \vec{b} |$

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10. 已知 $x > 1$ ，则 $x + \frac{25}{x - 1}$ 的值可以为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} ω x + \sqrt{3} \sin 2 ω x (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(- \frac{π}{12} + \frac{k π}{2} ， 0) (k \in Z)$ B、函数 $y = f (x) - 2$ 在 $[0 ， π]$ 上有且只有两个零点 C、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{π}{3} + k π ， \frac{π}{6} + k π] (k \in Z)$ D、将函数 $y = 2 \sin 2 x + 1$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，可得到 $f (x)$ 的图象

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12. 经研究发现：任意一个三次多项式函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 的图象都只有一个对称中心点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ ，其中 $x_{0}$ 是 $f^{^{'}^{'}} (x) = 0$ 的根， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导数， $f^{^{'}^{'}} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导数.若函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + x + b$ 图象的对称点为 $(- 1 ， 2)$ ，且不等式 $e^{x} - m x^{e} (\ln x + 1)$ $\geq [f (x) - x^{3} - 3 x^{2} + e] x^{e}$ 对任意 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，则（）

A、 $a = 3$ B、 $b = 1$ C、 $m$ 的值可能是 $- e$ D、 $m$ 的值可能是 $- \frac{1}{e}$

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三、填空题

13. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 ， a_{2} + a_{4} = - 8$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公差为.

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14. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{C D} = 7 \vec{E D}$ ，且 $\vec{B E} = λ \vec{A D} + μ \vec{D E}$ ，则 $λ + μ =$ .

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15. 若函数 $f (x) = {log}_{9} (x + 2) - {log}_{9} x (x > \frac{1}{4})$ ，则 $f (x)$ 的值域为.

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的左焦点为F ，点 $M$ 在双曲线 $C$ 的右支上， $A (0 ， 4)$ ，当 $△ M A F$ 的周长最小时， $△ M A F$ 的面积为.

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分別为a，b，c.已知 $cos2 C = 2cos (A + B) - \frac{3}{2}$ .

(1)、求C；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为15，且a，b，c成等差数列，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 在① $a_{n + 1} - 2 a_{n} + a_{n - 1} = 0 (n \geq 2)$ 且 $a_{1} = 1 ， S_{5} = 25$ ，② $a_{3} = 5 ， S_{n} = n^{2} + t n$ ，③ $a_{1} = 1 ， a_{2} = 3$ ，且 $S_{n} - 2 ， S_{n + 1} ， S_{n + 2}$ 成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， ▲ .若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2^{x} - m} (m \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若函数 $g (x) = x - 4 \sqrt{x} + 6$ 的最小值为 $a$ ，且当 $x \in [2 ， + \infty)$ 时， $f (x) < a$ 有解，求 $m$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在 $[0 ， m]$ 上的最小值为 $- 2$ ，且最小值点（取得最小值对应的自变量）唯一，求m的取值范围.

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21. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点，过点 $F_{1}$ 的直线l与椭圆C交于A ， B两点，点 $M (\sqrt{2} ， 1)$ 在椭圆 $C$ 上，且当直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴时， $| A B | = 2$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、是否存在实数t ，使得 $| A F_{1} | + | B F_{1} | = t | A F_{1} | | B F_{1} |$ 恒成立.若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，说明理由

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22. 已知函数 $f (x) = (x - a - 1) e^{x - 1} - \frac{1}{2} x^{2} + a x^{}^{} (x > 0)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

(2)、当 $a \leq 2$ 时，若 $f (x)$ 无最小值，求实数 $a$ 的取值范围.

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