浙江省金丽衢十二校2020-2021学年高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x ∣ - 4 < x < 2}$ ， $N = {x ∣ x^{2} + x - 6 < 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x ∣ - 3 < x < 3}$ B、 ${x ∣ - 3 < x < 2}$ C、 ${x ∣ - 2 < x < 2}$ D、 ${x ∣ 2 < x < 3}$

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2. 若实数x ， y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y - 2 \leq 0 \\ x + 2 y - 7 \geq 0 \\ y - 3 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = y - 2 x$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、-7 D、-9

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3. 函数 $f (x)$ 的图象如下，最恰当的解析式为（）

A、 $y = \sin (\cos x)$ B、 $y = \cos (\sin x)$ C、 $y = \sin (\sin x)$ D、 $y = \cos (\cos x)$

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4. 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{23}{3}$ D、 $\frac{22}{3}$

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5. 已知条件 $p ： t = 1$ ，条件q：直线 $x = t y - 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 相切，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 口袋中有7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中含红球的个数为随机变量 $ξ$ ．则 $ξ$ 的数学期望 $E (ξ)$ 是（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{9}{5}$

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7. 若 ${(x - 2)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{10} x^{10}$ ， $x \in R$ 则下列结论正确的是（）

A、 $a_{0} = - 1024$ B、 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{10} = - 1$ C、 $| a_{0} | + | a_{1} | + | a_{2} | + \cdot \cdot \cdot + | a_{10} | = 3^{10}$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \cdot \cdot \cdot + 9 a_{9} = 10$

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8. 若数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{n}{n^{2} + 2020} (n \in N^{*})$ ，则这个数列中的最大项是（）

A、第43项 B、第44项 C、第45项 D、第46项

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9. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，且 $\vec{A_{1} M} = \sqrt{3} \vec{M D_{1}}$ ， $\vec{B N} = \sqrt{3} \vec{N B_{1}}$ ， $\vec{A P} = x \vec{A C_{1}} + y \vec{B D_{1}}$ ， $x ， y \in R$ ，则 $| M P | + | N P |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}$ C、 $6 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \ln (- x) ， x < 0 \\ - \frac{1}{x} ， x > 0 \end{matrix}$ 的图像与曲线 $x^{2} - y^{2} - 2 a y - a^{2} = 0$ 恰有4个交点，则实数a的取值范围是（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $1 < a < 2$ C、 $0 < a < 2$ D、 $1 < a < 3$

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二、填空题

11. 设平面向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， x)$ ， $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ ， $| \vec{b} | =$ ．

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12. 设复数 $z = a + b i$ （i是虚数单位），若 $z + 2 \bar{z} = 3 + 2 i$ ，则 $a =$ ， $b =$ ．

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13. 函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} + 2 x) \cos (\frac{π}{6} - 2 x)$ 最小正周期为，当 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 时， $f (x)$ 的值域为．

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14. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = e^{x} - \frac{2 x + a}{x + 1}$ ，则 $a =$ ，若 $f (| 1 - m |) > f (2 m)$ ，则实数m的取值范围是．

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15. 将5名同学安排到3个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种．（用数字作答）

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16. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F ， P是椭圆C上第一象限内的点，O是原点．若 $\vec{F O} \cdot \vec{F P} = | P F |^{2}$ ，则椭圆C离心率的取值范围是．

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17. 设 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + \frac{1}{3} (a - 1) x (a \in R)$ ，若对于满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ 的三个不同实数 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， 3)$ ，恒有 $| x_{1} - x_{2} | + | x_{2} - x_{3} | + | x_{1} - x_{3} | \leq 4$ ，则实数a的最小值为．

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三、解答题

18. 已知a ， b ， c分别是 $△ A B C$ 内角A ， B ， C的对边， $b < a < c$ ，且 $c = 2 b$ ， $\cos A - \sin A = - \frac{1}{5}$ ．

(1)、求函数 $\sin A$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为20，求a的值．

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C_{1} = \sqrt{2} A B = \sqrt{2} A C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A C_{1} ⊥ B C$ ， $∠ C B B_{1} = 120 °$ ．

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、求直线 $B_{1} C_{1}$ 与平面 $A B C_{1}$ 所成角的正弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n} = 2 a_{n + 1} - \frac{2 n + 1}{2^{n}} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${2^{n} a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ，求证 $T_{n} < 2$ ．

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21. 如图，已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F ，过点F的直线交C于A ， B两点，以AB为直径的圆交x轴于M ， N ，且当 $A F ⊥ x$ 轴时， $| M N | = 4$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若直线AN ， AM分别交抛物线C于G ， H（不同于A），直线AB交GH于点P ，且直线AB的斜率大于0，证明：存在唯一这样的直线AB使得B ， H ， P ， M四点共圆．

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22. 设函数 $f (x) = x \ln x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、设 $g (x) = f (x) - k x - b$ 存在两个不同零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，记 $M = \frac{| x_{1} + x_{2} |}{2}$ ， $N = \frac{| x_{1} - x_{2} |}{2}$ ，求证： $\ln \frac{1}{2} < \frac{g (M)}{N} < 0$ ．

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