云南省经开区2021届高三理数模拟试卷（一）

试卷更新日期：2021-10-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 \leq 0}$ ， $B = {x | \frac{4 - x}{x + 1} \leq 0}$ ,那么集合 $A \cap (C_{U} B) =$ （）

A、 $[- 2, 4)$ B、 $(- 1, 3]$ C、 $[- 2, - 1]$ D、 $[- 1, 3]$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z (- 1 + 2 i) = {| 1 + 3 i |}^{2}$ (i为虚数单位），则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知共面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 3 ， \vec{b} + \vec{c} = 2 \vec{a}$ ，且 $| \vec{b} | = | \vec{b} - \vec{c} |$ .若对每一个确定的向量 $\vec{b}$ ，记 $| \vec{b} - t \vec{a} | (t \in R)$ 的最小值为 $d_{\min}$ ，则当 $\vec{b}$ 变化时， $d_{\min}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、2 C、4 D、6

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4. 已知 $f' (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导数，且 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - f (0) x + f' (1) e^{x - 1}$ ，若 $g (x) = f (x) - \frac{1}{2} x^{2} + x$ ，方程 $g (a x) - x = 0$ 有且只有一个根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 ${\frac{1}{e}}$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{e}]$ C、 $(0 ， \frac{1}{e}]$ D、 $(- \infty ， 0] \cup {\frac{1}{e}}$

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5. 已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，（注：若椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，则椭圆的面积为 $π a b$ ．）将该椭圆绕坐标原点逆时针旋转45°后对应曲线的方程设为 $f (x ， y) = 0$ ，那么方程 $f (| x | ， y) = 0$ 对应的曲线围成的平面区域如图所示，现往曲线 $f (| x | ， y) = 0$ 围成的平面区域内投放一粒黄豆（大小忽略不计，可抽象为一个点），那么该粒黄豆落在四边形ABCD内的概率为（）

A、 $\frac{2}{π}$ B、 $\frac{5}{8 π}$ C、 $\frac{8}{5 π}$ D、 $\frac{4}{5 π}$

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6. 若 $\int_{0}^{1} (x^{2} + m x) d x = \frac{4}{3}$ ，则在 ${(x^{2} - 3 x + m)}^{5}$ 的展开式中，含x项的系数为（）

A、120 B、-120 C、0 D、-240

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7. 已知函数 $f (x) = \sin ω x - \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ ，若方程 $f (x) = - 1$ 在 $(0 ， π)$ 上有且只有三个实数根，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{13}{6} ， \frac{7}{2}]$ B、 $(\frac{7}{2} ， \frac{25}{6}]$ C、 $(2 ， \frac{10}{3}]$ D、 $(\frac{10}{3} ， 4]$

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8. 已知 $A (\sqrt{3} ， 3)$ ， $B (0 ， 0)$ ， $C (2 \sqrt{3} ， 0)$ ，平面ABC内的动点P，M满足 $| \vec{A P} | = 1$ ， $\vec{P M} = \vec{M C}$ ，则 ${| \vec{B M} |}^{2}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{37 + 2 \sqrt{33}}{4}$ B、 $\frac{37 + 6 \sqrt{33}}{4}$ C、 $\frac{43}{4}$ D、 $\frac{49}{4}$

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9. 已知 $Δ A B C$ 是由具有公共直角边的两块直角三角板（ $R t Δ A C D$ 与 $R t Δ B C D$ ）组成的三角形，如左下图所示.其中， $∠ C A D = 45^{\circ} ， ∠ B C D = 60^{\circ}$ .现将 $R t Δ A C D$ 沿斜边 $A C$ 进行翻折成 $Δ D_{1} A C$ （ $D_{1}$ 不在平面 $A B C$ 上）.若 $M ， N$ 分别为 $B C$ 和 $B D_{1}$ 的中点，则在 $Δ A C D$ 翻折过程中，下列命题正确的是（）

A、在线段 $B D$ 上存在一定点 $E$ ，使得 $E N$ 的长度是定值 B、点 $N$ 在某个球面上运动 C、存在某个位置，使得直线 $A D_{1}$ 与 $D M$ 所成角为 $60^{\circ}$ D、对于任意位置，二面角 $D_{1} - A C - B$ 始终大于二面角 $D_{1} - B C - A$

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10. 已知定义域为正整数集的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 1 ， f (1) = 1$ ，则数列 ${{(- 1)}^{n} f (n) f (n + 1)} (n \in N *)$ 的前99项和为（）

A、-19799 B、-19797 C、-19795 D、-19793

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11. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x ⩾ 0$ 时， $f (x) = \frac{1}{2} (| x - a^{2} | + | x - 2 a^{2} | - 3 a^{2})$ ，若 $\forall x \in R$ ， $f (x - 1) ⩽ f (x)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{6}]$ B、 $[- \frac{\sqrt{6}}{6}$ ， $\frac{\sqrt{6}}{6}]$ C、 $[- \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3}]$ D、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{3}]$

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12. 执行如图示的程序框图，输出的S的值等于（）

A、 $\frac{\tan 101}{\tan 1} - 101$ B、 $\frac{\tan 102}{\tan 1} - 102$ C、 $\frac{\tan 101}{\tan 1} + 99$ D、 $\frac{\tan 100}{\tan 1} + 99$

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二、填空题

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} > 0$ ，且满足 $S_{2} \cdot S_{3} \dots S_{n} = n (a_{2}^{2} - t) (a_{3}^{2} - t) \dots (a_{n}^{2} - t)$ ，（ $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ），若 $a_{n} \leq \frac{n + 1}{2}$ （ $n \in N^{*}$ ），则实数t的取值范围是.

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14. 设 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 为不共线的非零向量，且 $\vec{O C} = \frac{1}{1 + λ} \vec{O A} + \frac{λ}{1 + λ} \vec{O B}$ ．定义点集 $M = {P | \frac{\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P C}}{| \overset{⇀}{P A} |} = \frac{\overset{⇀}{P B} \cdot \overset{⇀}{P C}}{| \overset{⇀}{P B} |}}$ ．当 $P_{1}$ ， $P_{2} \in M$ ，且不在直线AB上时，若对任意的 $λ \geq 2$ ，不等式 $| \vec{P_{1} P_{2}} | \leq m | \vec{A B} |$ 恒成立，则实数m的最小值是．

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15. 形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{6} x^{3} - m x + 3$ ， $g (x) = - 5 x - 4 \ln \frac{1}{x}$ ，若函数 $f^{'} (x)$ 与 $g (x) (x \in [\frac{1}{e} ， 4])$ 的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是．

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三、解答题

17. 如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形 $A B C D$ ， $A B ， A D$ 的长分别为 $2 \sqrt{3} m$ 和 $4 m$ ，上部是圆心为 $O$ 的劣弧 $C D$ ， $∠ C O D = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求图1中拱门最高点到地面的距离；

(2)、现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形 $A B C D$ 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设 $B C$ 与地面水平线 $l$ 所成的角为 $θ$ ．记拱门上的点到地面的最大距离为 $h$ ，试用 $θ$ 的函数表示 $h$ ，并求出 $h$ 的最大值．

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18. 在如图所示的多面体中，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 是边长为2的菱形，四边形 $A B C D$ 为直角梯形，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 为平行四边形，且 $A B ∕ ∕ C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $C D = 1$

(1)、若 $E ， F$ 分别为 $A_{1} C_{1}$ ， $B C_{1}$ 的中点，求证： $E F ⊥$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $A C_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求二面角 $A_{1} - A C_{1} - D$ 的余弦值．

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19. “工资条里显红利，个税新政人民心”.随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段.2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.

新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下：

	旧个税税率表(个税起征点3500元)		新个税税率表(个税起征点5000元)
缴税级数	每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点	税率(%)	每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点-专项附加扣除	税率(%)
1	不超过1500元部分	3	不超过3000元部分	3
2	超过1500元至4500元部分	10	超过3000元至12000元部分	10
3	超过4500元至9000元的部分	20	超过12000元至25000元的部分	20
4	超过9000元至35000元的部分	25	超过25000元至35000元的部分	25
5	超过35000元至55000元部分	30	超过35000元至55000元部分	30
···	···	···	···	···

随机抽取某市1000名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均月收入24000元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2：1：1：1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．

假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决如下问题：

(1)、设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；

(2)、根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入？

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $y = x$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于点A，B（A在x轴上方），且 $A B = \frac{2 \sqrt{6}}{3} a$ ．设点A在x轴上的射影为N，三角形ABN的面积为2（如图1）．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设平行于AB的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q．
①求证：直线OQ的斜率为定值；

②设直线OQ与椭圆相交于两点C，D（D在x轴的上方），点P为椭圆上异于A，B，C，D一点，直线PA交CD于点E，PC交AB于点F，如图2，求证： $A F \cdot C E$ 为定值．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x$ ， $g (x) = \ln x + b$ ， $a ， b \in R$ ，且 $f (x)$ 的最小值为 $f (g' (1))$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若不等式 $b f (x) \leq x g (x)$ 对任意 $x \in [\frac{1}{e} ， e^{2}]$ 恒成立，其中 $e$ 是自然对数的底数，求 $b$ 的取值范围；

(3)、设曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 交于点 $P (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} > 1)$ ，且两曲线在点 $P$ 处的切线分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ．试判断 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与 $x$ 轴是否能围成等腰三角形？若能，确定所围成的等腰三角形的个数；若不能，请说明理由．

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22. 已知在以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{3}{\sqrt{1 + 2 \sin^{2} θ}}$ ，在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$ （ $t$ 为参数）.

(1)、设曲线 $C$ 与直线 $l$ 的交点为 $A ， B$ ，求弦 $A B$ 的长度；

(2)、若动点 $Q$ 在曲线 $C$ 上，在（1）的条件下，试求 $Δ Q A B$ 面积的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | a x - 1 | (a 〉 0)$

(1)、若不等式 $f (x) \leq 2$ 的解集为 $A$ ，且 $A \subseteq (- 2 ， 2)$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若不等式 $f (x) + f (\frac{1}{a} x + \frac{2}{a}) > \frac{3}{2}$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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