陕西省榆林市2021届高三文数三模试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} + x - 6 \leq 0}$ ， $N = {x | - 1 < x < 1}$ ，则 $∁_{M} N =$ （）

A、 $[- 3 ， 1]$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $[- 3 ， - 1] \cup [1 ， 2]$ D、 $\emptyset$

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2. $\frac{- 1 + 2 i}{{(1 - i)}^{4}}$ =（）

A、 $\frac{1 - 2 i}{4}$ B、 $\frac{1 + 2 i}{4}$ C、 $\frac{- 1 - 2 i}{4}$ D、 $\frac{- 1 + 2 i}{4}$

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3. 从某班60名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将60名同学按01，02，…，60进行编号，然后从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为（）

0.347	4373	8636	9647	3661	4698	3671	6297
7424	6292	4281	1457	2042	5332	3732	1676

(注：表为随机数表的第1行与第2行)

A、24 B、36 C、46 D、47

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4. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{2})$ ， $\vec{b} = (t ， - 2 \sqrt{2})$ ， $\vec{a} + \vec{b} = (3 ， - \sqrt{2})$ ，则 $| 3 \vec{a} + \vec{b} |$ =（）

A、3 $\sqrt{3}$ B、3 $\sqrt{2}$ C、4 $\sqrt{3}$ D、4 $\sqrt{2}$

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5. 函数f(x)＝ $\frac{1 + \ln | x |}{| x |}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，已知 $a = 1 ， b = \sqrt{3} ， A = \frac{π}{6}$ ，则 $c =$ （）

A、1或2 B、1或 $\sqrt{3}$ C、1 D、2

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7. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a l n x + b$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = x + 2$ ，则 $a + b =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{x - 1}{x + 1} + a \sin x + 2$ ，且 $f (m) = 5$ ，则 $f (- m) =$ （）

A、-5 B、-3 C、-1 D、3

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9. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB＝AC＝1，AA₁＝4，AB⊥AC，M为BB₁的中点，点N在棱CC₁上，CN＝3NC₁ ，则异面直线A₁N与CM所成角的正切值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 已知函数f(x)＝2sin2x（sin2x+cos2x）﹣1，则下列说法正确的是（）

A、f(x)的最小正周期为π B、f(x)的最大值为2 C、f(x)在[0， $\frac{π}{6}$ ]上是增函数 D、f(x)在[0， $\frac{π}{2}$ ]上有4个零点

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11. 阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥.已知在阳马 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D ， P D = 3$ ，且阳马 $P - A B C D$ 的体积为9，则阳马 $P - A B C D$ 外接球表面积的最小值是（）

A、 $\frac{9 \sqrt[]{3} π}{2}$ B、 $9 \sqrt{3} π$ C、27π D、 $27 \sqrt{3} π$

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12. 已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，P(0，6)，O为坐标原点，则四边形OPAB面积最小时直线AB的方程是（）

A、3x+4y﹣4=0 B、4x+3y﹣4=0 C、4x+5y﹣4=0 D、5x+4y﹣4=0

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二、填空题

13. 设x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 1 \\ x - y \leq 1 \\ y \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = x + 3 y$ 的最大值是.

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14. 某产品的零售价x(元)与每天的销售量(个)统计如下表：

x

6

7

8

9

y

40

31

24

21

据上表可得回归直线方程为 $\hat{y} = - 6.4 x + \hat{a}$ ， $\hat{a}$ =.(用数字作答)

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15. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积 $= \frac{1}{2}$ （弦 $\times$ 矢 $+$ 矢 $^{2}$ ）．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 和其所对弦 $A B$ 围成的图形，若弧田的弧 $\overset{⌢}{A B}$ 长为 $\frac{8 π}{3}$ ，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为．

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F₁ ， F₂ ，以OF₁为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M（异于坐标原点O），若线段MF₁交双曲线于点P，且MF₂∥OP，则该双曲线的离心率为．

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三、解答题

17. 在等差数列{ $a_{n}$ }和等比数列{ $b_{n}$ }中，已知 $a_{1} + a_{2} = a_{3}$ ， $3 a_{2} - a_{5} = 1$ ， $b_{2} = a_{1} \cdot a_{4}$ ， $b_{2} + b_{5} = 36$ ．

(1)、求{ $a_{n}$ }，{ $b_{n}$ }的通项公式；

(2)、求数列{ $a_{n} \cdot b_{n}$ }的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有的其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.新能源汽车也越来越受到消费者的青睐.某机构调查了某地区近期购车的200位车主的性别与购车种类情况，得到数据如下：

	购置新能源汽车	购置传统燃油汽车	合计
男性	100	20	120
女性	50	30	80
合计	150	50	200

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

(1)、根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；

(2)、用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查，并从这6位车主中随机抽取2位车主赠送一份小礼物，求这2位获赠礼品的车主中至少有1位女性车主的概率.

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19. 如图，在棱长为6的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是 $B B_{1}$ 的中点，点 $F$ 在棱 $A B$ 上，且 $A F = 2 F B$ ，设直线 $B D_{1}$ ， $D E$ 相交于点 $G$ .

(1)、证明： $G F / /$ 平面 $A A_{1} D_{1} D$ .

(2)、求点 $B$ 到平面 $G E F$ 的距离.

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20. 已知函数f(x)=lnx.

(1)、点P为f(x)图象上一点，求点P到直线x﹣ey+6=0的距离的最小值；

(2)、若关于x的不等式f(x)≤ $\frac{1}{2}$ (x²+a﹣1)恒成立，求实数a的取值范围.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $8$ ，且点 $M (\frac{5 \sqrt{3}}{2} ， - \frac{1}{2})$ 在 $C$ 上.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且线段 $A B$ 被直线 $O M$ 平分，求 $△ A O B$ ( $O$ 为坐标原点)面积的最大值.

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22. 在平面直角坐标系中，直线l的倾斜角为a，且过点P（0，﹣2），以直角坐标系的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．

(1)、求曲线C的直角坐标方程；

(2)、设直线l与曲线C交于不同的两点M，N，求|PM|+|PN|的最大值．

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23. 已知函数f(x)＝|x+a|（a∈R）．

(1)、若f(x)≥|2x﹣1|的解集为[0，2]，求a的值；

(2)、若对任意x∈R，不等式f(x)+|x﹣2a|≥a²﹣4a恒成立，求实数a的取值范围．

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