陕西省宝鸡市教育联盟2020-2021学年高三上学期理数第二次月考试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} \leq 2 x} ， B = {x | (x - 1) (x + 2) \geq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty ， - 2]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[1 ， 2]$ D、 $[0 ， 1]$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2) ， \vec{b} = (3 ， - 2) ， \vec{c} = (t ， 2 - t)$ ，若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) / / \vec{c}$ ，则 $t =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 4$ ，则 $B C$ 边上的高的长度为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$

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4. 已知 $\sin (π + α) = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{\sin (- α) \cos (π - α)}{\sin (\frac{π}{2} - α)} =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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5. 若幂函数 $f (x) = (3 m^{2} - 2 m) x^{3 m}$ 的图象不经过坐标原点，则实数m的取值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、-1 D、1

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6. 已知 $\sin α + \cos α = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos^{2} (\frac{π}{4} - α) =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{2}{9}$

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7. 《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第二十日所织尺数为（）

A、18 B、20 C、19 D、21

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8. 直线 $l$ ： $y = x + m$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，则“ $m = \sqrt{3}$ ”是“ $△ O A B$ 为正三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 边的中点， $E$ 为 $A C$ 边的中点， $F$ 为 $C D$ 的中点， $A F 、 D E$ 相交于点 $G$ ，则 $\vec{B G} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A C} - \frac{3}{4} \vec{A B}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{5}{6} \vec{A B}$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ ，则不等式 $f (\log_{2} x - 1) \leq f (3)$ 的解集为（）

A、 $[4 ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2} ， 4)$ C、 $[\frac{1}{8} ， 16]$ D、 $[\frac{1}{4} ， 16]$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin ω x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos ω x (ω > 0)$ 在 $(0 ， π)$ 上恰有三个零点，则正数 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{7}{3} ， \frac{10}{3}]$ B、 $(\frac{10}{3} ， \frac{13}{3}]$ C、 $(\frac{7}{6} ， \frac{13}{6}]$ D、 $(\frac{13}{6} ， \frac{19}{6}]$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 - a) x + a ， x < 0 \\ e^{x} + a x^{2} ， x \geq 0 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $[- \frac{e}{2} ， 1]$ C、 $[- \frac{e}{2} ， 0)$ D、 $[1 ， 2]$

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二、填空题

13. 曲线 $f (x) = e^{x} - \ln x$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为．

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $2 a_{8} + a_{2} = 12$ ，则 $S_{11} =$ .

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15. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ， $| \sqrt{3} \vec{a} + \vec{b} | = | 2 \vec{a} - \sqrt{3} \vec{b} |$ ，则 $\cos θ =$ .

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16. 若 $x^{2} > \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 a \sin B = b \tan A$ .

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、若 $a = \sqrt{13}$ ， $\frac{b c}{b + c} = \frac{4}{5}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $2 a_{1} + a_{3} = 12$ ， $a_{1} + 2 a_{2} = 1 + a_{4}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $\frac{1}{S_{1} + 1} + \frac{1}{S_{2} + 2} + \dots + \frac{1}{S_{n} + n} < \frac{2}{3}$ .

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A = 120 °$ ，点D在AC边上，且 $B D = C D$ ， $A B = 3 x$ ， $A D = 5 x (x > 0)$ ．

(1)、当 $△ A B C$ 的面积为 $9 \sqrt{3}$ 时，求x的值；

(2)、求 $\sin ∠ A B C$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6}) + 4 \cos (x + \frac{π}{4}) \cos (x - \frac{π}{4})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{12}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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21.

(1)、求证： $2 \cos (α - β) - \frac{\sin (2 α - β)}{\sin α} = \frac{\sin β}{\sin α}$ ；

(2)、已知 $\tan (\frac{π}{4} + θ) + \tan (\frac{π}{4} - θ) = \frac{5}{2}$ ，求 $\frac{\cos 2 θ}{\sin 2 θ - 1}$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + 3 a x^{2} - 3 b x + b (a \in R ， b \in R)$ .

(1)、若 $b = - 3 a^{2}$ ，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a \geq 1$ 且 $0 < b < 1$ 时，证明：函数 $f (x)$ 有且仅有一个零点.

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