陕西省宝鸡市陈仓区2021届高三下学期理数教学质量检测试卷（二）

试卷更新日期：2021-10-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $A = {x \in Z | x > - 1}$ ，集合 $B = {x | \log_{2} x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 4}$ B、 ${x | 0 < x < 4}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 复数 $\frac{i^{2} + i^{3} + i^{4}}{1 - i}$ ＝（）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$

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3. 某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数 $H (t)$ 与传染源感染后至隔离前时长t（单位：天）的模型： $H (t) = e^{k t}^{+ λ}$ .已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20.若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为（）

A、44 B、48 C、80 D、125

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4. 设向量 $\vec{a} = (0 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 2)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $(\vec{a} - \vec{b}) / / \vec{b}$ C、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$

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5. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} ， a_{15}$ 是方程 $x^{2} + 6 x + 2 = 0$ 的根，则 $\frac{a_{3} a_{15}}{a_{9}}$ 的值为（）

A、 $- \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2} 或 \sqrt{2}$

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6. 函数 $y = \sin (\cos x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm³）是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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8. 袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001

231 130 133 231 031 320 122 103 233

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{3}{18}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{5}{18}$

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9. 已知三个数1，a，9成等比数列，则圆锥曲线 $\frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{5}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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10. 执行如图所示的程序框图，则输出 $S$ 的值为（）

A、0 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $1 + \sqrt{2}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，且满足 $f (x) + x f^{'} (x) > 0$ （ $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数），则不等式 $(x - 1) f (x^{2} - 1) < f (x + 1)$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2)$

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12. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作直线与抛物线在第一象限交于点 $A$ ，与准线在第三象限交于点 $B$ ，过点 $A$ 作准线的垂线，垂足为 $H$ .若 $\tan ∠ A F H = 2$ ，则 $\frac{| A F |}{| B F |} =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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二、填空题

13. $(x - 1) {(2 x + 1)}^{10}$ 的展开式中 $x^{10}$ 的系数为.

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14. 已知P是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上任一点，且满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ， $x 、 y \in R^{+}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值为.

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15. 设 $x = θ$ 是函数 $f (x) = 3 \cos x + \sin x$ 的一个极值点，则 $\cos 2 θ + \sin 2 θ =$ .

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16. 将正方形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折成直二面角，给出下列四个结论：① $A B$ ， $C D$ 所成的角为 $60 °$ ；② $△ A D C$ 为等边三角形；③ $A C ⊥ B D$ ；④ $A B$ 与平面 $B C D$ 所成角 $60 °$ .其中真命题是.（请将你认为是真命题的序号都填上）

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为3的等比数列，且 $a_{2}$ ， $a_{3} + 6$ ， $a_{4}$ 成等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} + \log_{3} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取 $n$ 名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的人员中成绩在[50，60）内的频数为3.

(1)、求 $n$ 的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；

(2)、已知抽取的 $n$ 名参赛人员中，成绩在[80，90）和[90，100]女士人数都为2人，现从成绩在[80，90）和[90，100]的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A C$ ， $B D$ 相交于点 $N$ ， $D N = 2 N B$ ，已知 $P A = A C = A D = 3$ ， $B D = 3 \sqrt{3}$ ， $∠ A D B = 30 °$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、设棱 $P D$ 的中点为 $M$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $M A C$ 所成二面角的正弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左右顶点分别为 $A ， B$ ，上下顶点分别为 $C ， D$ ，四边形 $A C B D$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过椭圆的右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $P B$ 、 $Q B$ 分别交直线 $x = 4$ 于 $M ， N$ 两点，判断 $\vec{B M} \cdot \vec{B N}$ 是否为定值，并说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} + k$ 的极大值为 $\frac{1 + e}{e}$ ，其中 $k$ 为常数， $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = e^{x} - \frac{a}{x}$ ，对任意实数 $x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $g (x) \geq a f (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \frac{2 \sqrt{5}}{5} t \\ y = a - \frac{\sqrt{5}}{5} t \end{array}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ$ .

(1)、若曲线 $C$ 关于直线 $l$ 对称，求 $a$ 的值；

(2)、若 $A$ ， $B$ 为曲线 $C$ 上两点，且 $O A ⊥ O B$ ，求 $△ A O B$ 面积的最大值.

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23. 已知 $a > b > 0$ ，函数 $f (x) = | x + \frac{1}{b (a - b)} |$

(1)、若 $a = 1$ ， $b = \frac{1}{2}$ ，求不等式 $f (x) > 2$ 的解集﹔

(2)、求证： $f (x) + | x - a^{2} | \geq 4$ .

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