陕西省2020-2021学年高三上学期理数12月联考试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 2 \leq x \leq 10}$ ， $B = {x | x^{2} - 9 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、［3，10］ B、［-3，10］ C、［-2，3］ D、［-2，9］

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2. 已知复数 $z$ 满足( $(2 + i) z = 5 - 5 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $3 - 3 i$ B、 $1 - 3 i$ C、 $1 + 3 i$ D、 $3 + 3 i$

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3. 棱长为2的正四面体的表面积是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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4. 设双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{7}$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{5} x$ B、 $y = \pm \sqrt{6} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{6} x$

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5. 设 $a = 5^{0.99}$ ， $b = \log_{2} \sqrt{3}$ ， $c = \log_{0.9} 4$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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6. 明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术——“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则 $tan 2 α =$ （）

A、 $\frac{12}{35}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{12}{37}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 下方程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，9，0，则输出a和i的值分别为（）

A、0，3 B、3，3 C、0，4 D、3，4

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8. 已知各项均为正数且单调递减的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} ， \frac{3}{2} a_{4} ， 2 a_{5}$ 成等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 31$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、16 B、8 C、4 D、2

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9. 设函数 $f (x) = \frac{\sin x}{x + \sin x}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $f (x + 1)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 C、 $f (x) > 0$ D、 $f (x) < \frac{1}{2}$

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前n项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{6 n + 38}{n + 1}$ ，则使得 $\frac{a_{k}}{b_{k}}$ 为整数的正整数k的个数是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11. 自然对数是以常数e为底数的对数，记作 $\ln N (N > 0)$ ，在物理学、生物学等自然科学中有着重要的意义.这个表示自然对数的底数的符号e是由瑞士数学和物理学家Leonhard Euler命名的，取的正是Euler的首字母e， $e \approx 2.7182818$ .某教师为帮助同学们了解e，让同学们把小数点后的7位数字进行随机排列，整数部分2的位置不变，那么可以得到大于2.72的不同数字的种数为（）

A、216 B、220 C、340 D、460

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且对任意实数x都有 $f (x) + f^{'} (x) > 1$ ，则不等式 $e^{x} f (x) > e^{x} - 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 3) ， \vec{b} = (1 ， - 2)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \geq 0 \\ 2 x - y - 2 \leq 0 \\ x + 2 y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + 2 y$ 的最大值为．

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15. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上是减函数，若 $f (m) + f (3 - 2 m) > f (0)$ ，则m的取值范围为.

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，以A为球心， $2 \sqrt{2}$ 为半径的球面与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的交线长为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $B = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $a = 4 ， c = 3$ ，求 $\sin A$ 的值

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的最小值.

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18. 某学校组织知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙、丙胜出的概率分别为 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ；在第二轮比赛中，甲、乙、丙胜出的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{5}{6}$ .甲、乙、丙三人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

(1)、从甲、乙、丙三人中选取一人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

(2)、若甲、乙、丙三人均参加比赛，求恰有两人赢得比赛的概率.

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19. 如图，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，B₁C₁⊥平面AA₁C₁C，D是AA₁的中点， $Δ A C D$ 是边长为1的等边三角形.

(1)、求证：CD⊥B₁D；

(2)、若BC= $\sqrt{3}$ ，求二面角B—C₁D—B₁的大小.

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆C上，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若椭圆C上存在A，B两点关于直线 $x = m y + 1$ 对称，求m的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - x^{2} - 2 x$ 的图象在点 $(0 ， 1)$ 处的切线方程为 $y = 1$ .

(1)、证明： $f (x) + x^{2} \geq 1$ .

(2)、若 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极值点，且 $x_{0} < 0$ .若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，且 $x_{2} < x_{1} < 0$ .证明： $\ln (x_{1} + x_{2} + 2) > \ln 2 + 2 x_{0}$ .

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22. 数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线 $C$ ： $ρ = \sin 3 θ$ （ $ρ \in R$ ， $θ \in [0 ， 2 π)$ ）被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．

(1)、求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；

(2)、射线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的极坐标方程分别为 $θ = θ_{0}$ ， $θ = θ_{0} + \frac{π}{2}$ （ $θ_{0} \in [0 ， 2 π)$ ， $ρ > 0$ ）， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交曲线 $C$ 于点 $M$ ， $N$ 两点，求 $\frac{1}{{| O M |}^{2}} + \frac{1}{{| O N |}^{2}}$ 的最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | - 5$ ．

(1)、证明 $f (x) \leq | x + a - 5 |$ ；

(2)、已知 $a > 0$ ，若不等式 $f (x) + 2 | x - 1 | < 0$ 的解集为 $(m ， n)$ ，且 $n - m = \frac{4}{3}$ ，求 $a$ 的值．

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