山西省吕梁市2021届高三上学期理数11月阶段性测试试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $U = R$ ，集合 $A = {x | x < 3}$ ， $B = {x | \log_{2} x < 0}$ ，则 $A \cap ∁_{U} B =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 3}$ B、 ${x | x \leq 0 或 1 \leq x < 3}$ C、 ${x | x < 3}$ D、 ${x | 1 \leq x < 3}$

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2. “对任意 $x \in R$ ，都有 $x^{2} \geq 0$ ”的否定形式为（）

A、对任意 $x \in R$ ，都有 $x^{2} < 0$ B、不存在 $x \in R$ ，都有 $x^{2} < 0$ C、存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} \geq 0$ D、存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} < 0$

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3. 若 $p ： 0 < a < b$ ， $q ： 3^{a} - \log_{\frac{1}{5}} a < 3^{b} - \log_{\frac{1}{5}} b$ 则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若 $x \in (\frac{1}{e} ， 1)$ ， $a = \ln x$ ， $b = 2 \ln x$ ， $c = \ln^{3} x$ ，则有（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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5. 若 $\cos (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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6. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为两个非零向量， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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7. 四个函数：① $y = x \sin x$ ；② $y = x \cos x$ ；③ $y = x | \cos x |$ ；④ $y = x \cdot 2^{x}$ 的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）

A、④①②③ B、①④②③ C、③④②① D、①④③②

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8. 把函数 $y = \sin x$ 的图象上所有的点向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（）

A、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $y = \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ C、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$

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9. 在边长为2的等边 $△ A B C$ 中，若点D满足 $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ，点E为AC的中点，则 $\vec{E D} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 e^{x} + a ， x ⩽ 0 \\ 2 x - 1 ， x > 0 \end{array} (a \in R)$ ，若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上有两个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $[- 2 ， 0)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $[- 1 ， 0)$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2 x ， x \in [0 ， 3] \\ - x^{2} + 2 x ， x \in [- 3 ， 0) \end{matrix}$ ，则不等式 $f (2 x - 3) + f (1 - x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(2 ， 4]$ C、 $(2 ， 3]$ D、 $(- 2 ， 4]$

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12. 已知函数 $y = f (x) (x \in R)$ 满足 $f (x + 2) + f (- x + 2) = 2$ ， $f (x)$ 图象与函数 $g (x) = 2 \sin \frac{π}{2} x + 1$ 的图象在 $[- 2 ， 6]$ 上有 $m$ 个交点，则此 $m$ 个交点的横坐标之和等于（）

A、 $2 m$ B、 $m$ C、0 D、2

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{x}{x - 1} (2 \leq x \leq 4)$ 的最大值为.

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14. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (- 3 ， 2)$ ， $b = (- 1 ， 0)$ ，向量 $λ \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ 与 $\overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b}$ 垂直，则实数 $λ$ 的值为．

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15. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{6})$ ， $(ω > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 上恰有一个最大值和一个最小值，则 $ω$ 的最小值为.

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16. 设函数 $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} + \sin (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} + 1}$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M + m =$ .

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三、解答题

17. 已知命题p：方程 $2 x^{2} + a x - a^{2} = 0$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上有解；命题q：只有一个实数 $x_{0}$ 满足不等式 $x_{0}^{2} + a x_{0} + 2 a \leq 0$ ，若命题“ $p \lor q$ ”是假命题，求a的范围.

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18.

(1)、求值： $4 \cos 130^{°} - \tan 140^{°}$ ；

(2)、已知 $\cos (\frac{π}{4} + x) = \frac{3}{5} ， \frac{17 π}{12} < x < \frac{7 π}{4}$ ，求 $\frac{\sin 2 x + 2 \sin^{2} x}{1 - \tan x}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{3}) + 2 \sin (x - \frac{π}{4}) \sin (x + \frac{π}{4})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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20. 设函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 a x^{2} + 3 b x + 8 c$ 在 $x = 1$ 及 $x = 2$ 时取得极值．

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、若对于任意的 $x \in [0 ， 3]$ ，都有 $f (x) < c^{2}$ 成立，求 $c$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，在 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 上有最小值，无最大值，且满足 $f (\frac{π}{6}) = f (\frac{π}{3})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{6})$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，若对满足 $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | = 2$ 的 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 有 ${| x_{1} - x_{2} |}_{\min} = \frac{π}{7}$ ，求 $φ$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - a (x - \ln x)$ .

(1)、当 $a \leq 0$ 时，试求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 内有极值，试求 $a$ 的取值范围.

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