山东省烟台莱州市2021届高三上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 5 x + 6 \geq 0}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $A \cap B = B$ B、 $A \cup B = A$ C、 $A$ Ü $B$ D、 $∁_{R} A = B$

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2. 设 $f (x) = 3^{x} + 3 x - 8$ ，用二分法求方程 $3^{x} + 3 x - 8 = 0$ 在 $x \in (1 ， 2)$ 内近似解的过程中得 $f (1) < 0$ ， $f (1.5) > 0$ ， $f (1.25) < 0$ ，则方程的根落在区间（）

A、 $(1 ， 1.25)$ B、 $(1.25 ， 1.5)$ C、 $(1.5 ， 2)$ D、不能确定

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3. 已知 $a = \log_{3} 0.8$ ， $b = 3^{0.8}$ ， $c = {0.3}^{2.1}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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4. 已知角 $θ$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边过点 $(2, 1)$ ，则 $\cos 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 已知 $α$ 是锐角，向量 $\vec{a} = (\sin α ， \frac{1}{2}) ， \vec{b} = (1 ， \cos α)$ ，满足 $| \vec{a} | | \vec{b} | = | \vec{a} \cdot \vec{b} |$ ，则α为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{4}$

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6. 函数 $f (x) = (\frac{2}{1 + e^{x}} - 1) \cos x$ 图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，矩形ABCD中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ，O是AB边的中点，点P沿着边BC ， CD与DA运动，记 $∠ B O P = x$ ．当点P从B点开始沿 $B - C - D - A$ 运动过程中， $△ A O P$ 的面积记为 $f (x)$ ，则 $y = f (x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) (x \in R)$ 导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $f^{'} (x) < f (x)$ ，则当 $a > 0$ 时， $f (a)$ 与 $e^{a} f (0)$ 之间的大小关系为（）

A、 $f (a) < e^{a} f (0)$ B、 $f (a) > e^{a} f (0)$ C、 $f (a) = e^{a} f (0)$ D、不能确定，与 $f (x)$ 或 $a$ 有关

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二、多选题

9. 把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象沿x轴向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数 $y = f (x)$ 的图象，对于函数 $y = f (x)$ 有以下四个判断，其中正确的是（）

A、该函数的解析式为 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ B、该函数图象关于点对称 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称 C、该函数在 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上是增函数 D、若函数 $y = f (x) + a$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则 $a = 2 \sqrt{3}$

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10. 若函数 $f (x)$ 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有 $f (x) + f (- x) = 0$ ；②对于定义域上的任意 $x_{1} ， x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则称函数 $f (x)$ 为“理想函数”．下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = \ln (\sqrt{1 + x^{2}} + x)$ C、 $f (x) = \frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}$ D、 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} ， x \geq 0 \\ x^{2} ， x < 0 \end{matrix}$

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11. 设m ， n为实数，且 $0 < m < n < 1$ ，则下列不等关系成立的是（）

A、 $2^{m} < 2^{n}$ B、 $\log_{m} 2 < \log_{n} 2$ C、 $m^{m n} < n^{m n}$ D、 $m n > m n^{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = x \cos x - \sin x$ ，下列结论中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 时，取得极小值-1； B、对于 $\forall x \in [0 ， π]$ ， $f (x) \leq 0$ 恒成立； C、若 $0 < x_{1} < x_{2} < π$ ，则 $\frac{x_{1}}{x_{2}} < \frac{\sin x_{1}}{\sin x_{2}}$ ； D、若 $a < \frac{\sin x}{x}$ 对于 $\forall x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 恒成立，则a的最大值为 $\frac{2}{π}$ ．

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三、填空题

13. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 3) = f (x)$ ，且当 $x \in [0 ， \frac{3}{2})$ 时， $f (x) = - x^{2}$ ，则 $f (\frac{11}{2}) =$

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14. 已知 $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $| A C | = | B C | = 1 ， \overset{⇀}{C P} = 2 (\overset{⇀}{C A} + \overset{⇀}{C B})$ ，则 $\overset{⇀}{A P} \cdot \overset{⇀}{B P} =$

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15. 2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以 $72 \sqrt{2}$ 千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西 $60^{°}$ 的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东 $75^{°}$ 的方向上，仰角为 $30^{\circ}$ ，则直升机飞行的高度为千米．（结果保留根号）

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16. 对于函数 $y = f (x)$ ，若其定义域内恰好存在两个不同的非零实数 $x_{1} ， x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) = \frac{1}{x_{1}} ， f (x_{2}) = \frac{1}{x_{2}}$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为M函数．若函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{a}$ 为M函数，则实数a的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 a x + b (a > 0)$ ，在区间 $[0 ， 3]$ 上有最大值16，最小值0．设 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ．
（Ⅰ）求 $g (x)$ 的解析式；

（Ⅱ）若不等式 $g (\log_{2} x) - k \geq 0$ 在 $[4 ， 16]$ 上恒成立，求实数k的取值范围；

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18. 已知函数 $f (x) = 1 + \sqrt{3} \cos 2 x - 2 \sin^{2} (\frac{π}{4} - x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调减区间；

(2)、若 $f (x) - (a + 1) = 0$ 在区间 $[\frac{π}{4} ， π]$ 有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x - x + c$ ，且 $a = f' (\frac{2}{3})$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = (f (x) - x^{3}) \cdot e^{x}$ ，若函数 $g (x)$ 在 $x \in [- 3 ， 2]$ 上单调递增，求实数 $c$ 的取值范围．

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20. 某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资 $x$ （单位：万元）满足： $f (x) = a \ln x - b x + 3$ （ $a ， b \in R ， a ， b$ 为常数），且曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = k x$ 在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）.

(1)、分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；

(2)、已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
（参考数据： $\ln = 10 = 2.303 ， \ln 15 = 2.708 ， \ln 20 = 2.996 ， \ln 25 = 3.219 ， \ln 30 = 3.401$ ）

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21. 设函数 $f (x) = \ln x + \frac{m}{x} ， m \in R$ .

(1)、当 $m = e$ （ $e$ 为自然对数的底数）时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、讨论函数 $g (x) = f' (x) - \frac{x}{3}$ 零点的个数；

(3)、若对任意 $b > a > 0 ， \frac{f (b) - f (a)}{b - a} < 1$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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22. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， ▲ ，且 $a = 3 ， 3 \sin B + 3 \sin C = 4 \sin (B + C)$ .现从：① $A = \frac{π}{3}$ ，② $B = \frac{π}{3}$ ，③ $A + B = \frac{π}{2}$ 这三个条件中任选一个，补充在以上问题中，并判断这样的 $Δ A B C$ 是否存在，若存在，求 $Δ A B C$ 的面积 $S$ ▲ ；若不存在，请说明理由.

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